Pythonでアインシュタインの縮約記法を使ってベクトルの外積を計算する方法

Pythonでアインシュタインの縮約記法（Einstein summation convention）を用いてベクトルの外積を計算するには、NumPyのnumpy.einsum()メソッドを使用します。

第1引数は「添字（subscript）」です。総和を取る対象の添字ラベルを、カンマ区切りの文字列として指定します。第2引数以降は「オペランド」であり、演算の対象となる配列を渡します。

einsum()メソッドは、オペランドに対してアインシュタインの縮約記法を評価します。この記法を活用すると、内積・外積・転置など、多次元配列に関する線形代数の一般的な操作を非常に簡潔に表現できます。

暗黙モードと明示モード

暗黙モードでは、einsum()が指定された添字に従って自動的に値を計算します。一方、明示モードでは「->」を使って出力の添字を明示でき、特定の添字ラベルへの総和を無効化または強制できます。これにより、古典的なアインシュタイン縮約操作とはみなされないような、より柔軟な配列演算も実現可能です。

手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np

arange()メソッドを使ってNumPy配列を作成します。

arr = np.arange(5)

作成した配列を表示します。

print("Our Array...\n",arr)

配列の次元数を確認します。

print("\nDimensions of our Array...\n",arr.ndim)

配列のデータ型を取得します。

print("\nDatatype of our Array object...\n",arr.dtype)

配列の形状を取得します。

print("\nShape of our Array object...\n",arr.shape)

アインシュタインの縮約記法でベクトルの外積を計算します。ここでは添字として「i,j」を指定し、2つのベクトルのすべての要素同士の組み合わせ（外積）を求めます。

print("\nResult (outer product)...\n",np.einsum('i,j', np.arange(2)+1, arr))

サンプルコード

import numpy as np

# arange()メソッドでNumPy配列を作成
arr = np.arange(5)

# 配列を表示
print("Our Array...\n",arr)

# 次元数を確認
print("\nDimensions of our Array...\n",arr.ndim)

# データ型を取得
print("\nDatatype of our Array object...\n",arr.dtype)

# 形状を取得
print("\nShape of our Array object...\n",arr.shape)

# アインシュタインの縮約記法でベクトルの外積を計算
print("\nResult (outer product)...\n",np.einsum('i,j', np.arange(2)+1, arr))

出力結果

Our Array...
[0 1 2 3 4]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
int64

Shape of our Array object...
(5,)

Result (outer product)...
[[0 1 2 3 4]
 [0 2 4 6 8]]

このように、np.einsum('i,j', ...)と記述するだけで、2つのベクトルの外積（直積）を簡潔に計算できます。結果として得られる行列の各要素は、1つ目のベクトルの各行成分と2つ目のベクトルの各列成分の積になっています。