Pythonでエルミート多項式のファンデルモンド行列を生成する方法

PythonのNumPyでエルミート多項式のファンデルモンド行列を生成するには、numpy.polynomial.hermite.hermvander()を使用します。このメソッドは擬似ファンデルモンド行列（pseudo-Vandermonde matrix）を返します。

返される行列の形状は x.shape + (deg + 1,) となり、最後のインデックスが対応するエルミート多項式の次数を表します。データ型（dtype）は、変換後のxと同じになります。

パラメータについて

x（点の配列）

ファンデルモンド行列を計算する対象となる点の配列です。要素に複素数が含まれるかどうかに応じて、dtypeはfloat64またはcomplex128に変換されます。xがスカラーの場合は、自動的に1次元配列へと変換されます。

deg（次数）

生成される行列の次数を指定します。0から指定した次数までの各エルミート多項式の値が列として並びます。

手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite as H

配列を作成します。

x = np.array([0, 1, -1, 2])

配列を表示します。

print("Our Array...\n", x)

エルミート多項式のファンデルモンド行列を生成するには、Python NumPyのhermite.hermvander()を使用します。

print("\nResult...\n", H.hermvander(x, 2))

サンプルコード

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite as H

# 配列を作成
x = np.array([0, 1, -1, 2])

# 配列を表示
print("Our Array...\n", x)

# 次元数を確認
print("\nDimensions of our Array...\n", x.ndim)

# データ型を取得
print("\nDatatype of our Array object...\n", x.dtype)

# 形状を取得
print("\nShape of our Array object...\n", x.shape)

# エルミート多項式のファンデルモンド行列を生成
print("\nResult...\n", H.hermvander(x, 2))

出力結果

Our Array...
    [ 0  1 -1  2]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
int64

Shape of our Array object...
(4,)

Result...
    [[ 1.  0. -2.]
     [ 1.  2.  2.]
     [ 1. -2.  2.]
     [ 1.  4. 14.]]

このように、入力配列の各要素に対して、次数0から2までのエルミート多項式 H₀(x)=1、H₁(x)=2x、H₂(x)=4x²−2 の値が計算され、各行に対応する点の多項式の値が格納された擬似ファンデルモンド行列が得られます。