C++で頂点座標から多角形の面積を計算する方法

このプログラムでは、与えられた頂点の座標をもとに、多角形の面積を求めます。本題に入る前に、理解を深めるために基本的な用語をおさらいしておきましょう。

基本用語のおさらい

面積

面積とは、2次元の図形が占める広がりの大きさを数量的に表したものです。

多角形

多角形とは、一定の数の辺で構成される閉じた図形のことです。

頂点の座標

頂点の座標とは、2次元平面上における点の位置を示す値のことです。例えば (0, 0) のように表されます。

面積を求める数式

多角形の各頂点の座標が分かっていれば、次の「靴紐公式」と呼ばれる数式を使うことで、その面積を計算できます。

Area = ½ [(x1y2 + x2y3 + …… + x(n-1)yn + xny1) − (x2y1 + x3y2 + …… + xny(n-1) + x1yn)]

この公式は、隣り合う頂点の座標を掛け合わせた項の差をすべて足し合わせ、その絶対値を2で割ることで面積を求めるものです。なお、頂点は時計回りまたは反時計回りのいずれか一方向に順番どおり並べて入力する必要がある点に注意してください。

C++による実装例

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

double areaOfPolygon(double x[], double y[], int n){
    double area = 0.0;
    int j = n - 1;
    for (int i = 0; i < n; i++){
        area += (x[j] + x[i]) * (y[j] - y[i]);
        j = i;
    }
    return abs(area / 2.0);
}

int main(){
    double X[] = {0, 1, 4, 8};
    double Y[] = {0, 2, 5, 9};
    int n = sizeof(X)/sizeof(X[0]);
    cout<<"The area is "<<areaOfPolygon(X, Y, n);
}

コードの解説

areaOfPolygon 関数は、x座標の配列・y座標の配列・頂点の数 n を受け取ります。変数 j は「直前の頂点」のインデックスを表し、初期値は最後の頂点である n - 1 です。ループの中では、現在の頂点 i と直前の頂点 j を使って (x[j] + x[i]) * (y[j] - y[i]) を累積加算していきます。これにより、多角形の外周に沿って一周分の計算が自動的に完了します。最後に abs() で絶対値を取り、2で割った値を面積として返しています。

実行結果

The area is 3.5

この例では、(0,0)、(1,2)、(4,5)、(8,9) の4つの頂点を持つ多角形の面積として 3.5 が出力されました。この手法は、凸多角形だけでなく凹多角形にも対応できるため、頂点座標が既知の任意の単純多角形の面積計算に幅広く活用できます。