C++で隣接する2辺のベクトルから三角形の面積を求める方法

三角形の面積を求める考え方

三角形の隣接する2辺が、xî + yĵ + zk̂ の形式で表されるベクトル A と B として与えられているとします。このとき、三角形の面積は「2つのベクトルの外積の大きさの半分」で求められます。つまり、面積 = (1/2)|A × B| です。

外積の各成分に展開すると、面積は次の式で表されます。

$$\frac{1}{2}|\vec{A}\times\vec{B}|=\frac{1}{2}\sqrt{(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1})^{2}+(x_{1}z_{2}-x_{2}z_{1})^{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}}$$

C++による実装例

以下のプログラムでは、2つの3次元ベクトルを配列として受け取り、外積の各成分を計算したうえで、その大きさの半分を面積として返しています。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

float area(float A[], float B[]) {
    float area = sqrt(pow((A[1] * B[2] - B[1] * A[2]), 2)
                    + pow((A[0] * B[2] - B[0] * A[2]), 2)
                    + pow((A[0] * B[1] - B[0] * A[1]), 2));
    return area * 0.5;
}

int main() {
    float A[] = {3, 1, -2};
    float B[] = {1, -3, 4};
    float a = area(A, B);
    cout << "Area = " << a;
}

実行結果

Area = 8.66025

計算内容の解説

この例では、ベクトル A = (3, 1, −2)、B = (1, −3, 4) を使用しています。外積 A × B の各成分は次のように計算されます。

• x成分： 1×4 − (−2)×(−3) = 4 − 6 = −2
• y成分： (−2)×1 − 3×4 = −2 − 12 = −14
• z成分： 3×(−3) − 1×1 = −9 − 1 = −10

外積の大きさは √((−2)² + (−14)² + (−10)²) = √300 ≒ 17.3205 となり、その半分を取ると約 8.66025 が三角形の面積として出力されます。

まとめ

隣接する2辺のベクトルが分かれば、外積の大きさの半分を計算するだけで三角形の面積を簡単に求められます。3次元ベクトルの外積は、ゲーム開発やコンピュータグラフィックス、物理シミュレーションなど、面積や法線ベクトルを扱う場面で頻繁に活用される重要な演算です。