C++を使って隣接する2辺のベクトルから平行四辺形の面積を求める方法

平行四辺形の面積の計算方法

平行四辺形の隣接する2辺に対応する2つのベクトルが、$x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ の形式で与えられているとします。このとき、平行四辺形の面積は、2つのベクトルの外積の大きさ(|A × B|)に等しくなります。

ベクトル A = (x₁, y₁, z₁) と B = (x₂, y₂, z₂) が与えられた場合、面積は次の式で求められます。

$$\rvert \vec{A}\times\vec{B}\rvert=\sqrt{\lgroup y_{1}*z_{2}-y_{2}*z_{1}\rgroup^{2}+\lgroup x_{1}*z_{2}-x_{2}*z_{1}\rgroup^{2}+\lgroup x_{1}*y_{2}-x_{2}*y_{1}\rgroup^{2}}$$

この式は、外積 A × B の各成分の2乗和の平方根を取ることで、外積ベクトルの大きさ、すなわち平行四辺形の面積を計算するものです。

C++による実装例

以下のC++プログラムでは、2つのベクトルを配列として受け取り、上記の式に基づいて面積を計算します。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
float area(float A[], float B[]) {
   float area = sqrt(pow((A[1] * B[2] - B[1] * A[2]),2) + pow((A[0] * B[2] - B[0] * A[2]),2) + pow((A[0] * B[1] - B[0] * A[1]),2));
   return area;
}
int main() {
   float A[] = {3, 1, -2};
   float B[] = {1, -3, 4};
   float a = area(A, B);
   cout << "Area = " << a;
}

コードの解説

area関数では、配列AとBの各成分を使って、外積の3つの成分をそれぞれ計算しています。

• x成分:y₁·z₂ − y₂·z₁
• y成分:x₁·z₂ − x₂·z₁
• z成分:x₁·y₂ − x₂·y₁

これらの成分の2乗和の平方根をsqrt関数で求めることで、外積の大きさ、つまり平行四辺形の面積が得られます。

実行結果

Area = 17.3205

この例では、ベクトル A = (3, 1, -2) と B = (1, -3, 4) が与えられた場合の平行四辺形の面積は、約17.32と計算されました。