C++で放物線の頂点・焦点・準線を求める方法

このチュートリアルでは、C++を使って放物線の頂点、焦点、準線を求める方法を学びます。放物線の方程式の係数として、x、y、z の3つの定数が与えられたものとします。

放物線の基本要素

放物線とは、2次関数をグラフに描いたときに現れる左右対称のU字形の曲線です。今回扱う主な要素は次の3つです。

• 頂点：放物線の最も高い（または低い）点で、グラフの対称軸上に位置します。
• 焦点：放物線の形状を決める特別な点。放物線上のどの点から見ても、焦点までの距離と準線までの距離は等しくなります。
• 準線：焦点とセットで放物線を定義する基準となる直線です。

頂点・焦点・準線を求める公式

放物線を y = xX² + yX + z の形で表した場合、各要素は次の公式で求められます。

• 頂点：(−y/2x, (4xz − y²)/4x)
• 焦点：(−y/2x, (4xz − y² + 1)/4x)
• 準線：Y = z − (y² + 1)/4x

いずれの公式も分数を含むため、プログラムに実装する際は括弧の付け方が非常に重要です。括弧を忘れると、演算子の優先順位によって計算の順序が変わり、まったく異なる結果になってしまいます。

サンプルコード

実際にC++で実装したコードを見てみましょう。

#include <iostream>
using namespace std;

void findParabolaProperties(float x, float y, float z) {
    cout << "頂点: (" << -y / (2 * x) << ", "
         << ((4 * x * z) - (y * y)) / (4 * x) << ")" << endl;
    cout << "焦点: (" << -y / (2 * x) << ", "
         << ((4 * x * z) - (y * y) + 1) / (4 * x) << ")" << endl;
    cout << "準線: Y = " << z - ((y * y) + 1) / (4 * x) << endl;
}

int main() {
    float x = 6, y = 4, z = 7;
    findParabolaProperties(x, y, z);
    return 0;
}

出力結果

x = 6、y = 4、z = 7 を引数として上記のコードを実行すると、次の結果が出力されます。

頂点: (-0.333333, 6.33333)
焦点: (-0.333333, 6.375)
準線: Y = 6.29167

計算内容の確認

頂点のY座標を手計算で確かめてみましょう。

(4 × 6 × 7 − 4²) ÷ (4 × 6) = (168 − 16) ÷ 24 = 6.333…

もし「((4xz − y²) ÷ 4) × x」のように計算してしまうと、答えが 228 となり、正しい値から大きくズレてしまいます。これはC++において除算と乗算が同じ優先順位で左から右へ評価されるためです。分母の (4 * x) の部分を明示的に括弧で囲むことで、この問題を防げます。

まとめ

放物線の頂点・焦点・準線は、シンプルな公式を使えば簡単に求められ、C++でも短いコードで実装できます。正確な結果を得るためのポイントは、分数の分子と分母を正しく括弧で囲むことです。このチュートリアルについて質問がある場合は、コメント欄でお知らせください。