C++で2次元平面上の点の鏡像（鏡映点）を求める方法

この記事では、2次元平面上の点Pと、直線の方程式 ax + by + c = 0 の係数 a・b・c が与えられたときに、この直線を鏡とした点Pの鏡像（鏡映点）をC++で求める方法を解説します。

問題を理解するための例

入力

P = (2, 1), a = 1, b = -1, c = 0

出力

(1, 2)

説明

与えられる直線は y = x です。この直線を鏡として点 (2, 1) を反射すると、x座標とy座標が入れ替わった位置 (1, 2) が鏡像となります。平面の様子は下図の通りです。

解法アプローチ

この問題を解くには、鏡像となる点P'(x', y') の座標を求める必要があります。そこで、線分P-P'が鏡となる直線と交わる点をRとします。

線分P-R-P'は鏡となる直線に垂直であり、その方向は直線の法線ベクトル (a, b) と一致します。点P(x, y) と点R(xm, ym) の位置関係から、鏡像P'は次の等式を満たします。

(x' − x) / a = (y' − y) / b = −2(ax + by + c) / (a² + b²)

この共通の値を t とおくと、鏡像の座標は以下の式で求められます。

x' = x + a × t
y' = y + b × t

つまり、点Pから法線方向へ、直線までの距離の2倍だけ移動した位置が鏡像P'になります。この計算は定数回の演算で済むため、時間計算量は O(1) です。

C++での実装例

#include <iostream>
using namespace std;

// 点(x, y)の直線 ax + by + c = 0 に関する鏡像を求める関数
void findMirrorImage(double a, double b, double c, double x, double y){
    // 鏡像への移動量 t を計算
    double t = -2 * (a * x + b * y + c) / (a * a + b * b);
    // 鏡像の座標を求める
    double xm = t * a + x;
    double ym = t * b + y;
    cout << "(" << xm << "," << ym << ")";
}

int main(){
    double a = -1.0;
    double b = 1.0;
    double c = 0.0;
    double x = 1.0;
    double y = 0.0;
    cout << "Image of point (" << x << ", " << y << ") using mirror (" << a << ")x + (" << b << ")y + (" << c << ") = 0, is :";
    findMirrorImage(a, b, c, x, y);
    return 0;
}

出力

Image of point (1, 0) using mirror (-1)x + (1)y + (0) = 0, is :(0,1)

実行結果の解説

このプログラムでは、直線 −x + y = 0（すなわち y = x）を鏡として、点 (1, 0) の鏡像を求めています。出力の通り、鏡像は (0, 1) となり、x座標とy座標が入れ替わった位置に正しく映っていることが確認できます。