C++で曲線上の特定の点における法線の方程式を求める

曲線 y = x(A - x) が与えられたとき、この曲線上の任意の点 (x, y) における法線の方程式を求める方法を解説します。ここで A は整数定数、x と y も整数とします。

数学的アプローチ

1. 点が曲線上にあるか確認

まず、与えられた点 (x, y) が曲線 y = x(A - x) = Ax - x² を満たすかどうかを確認します。

2. 微分して接線の傾きを求める

曲線を x で微分すると、接線の傾き dy/dx が得られます：

\(\frac{dy}{dx} = A - 2x\)

3. 法線の傾きと方程式

法線の傾きは接線の傾きの負の逆数 -dx/dy となります。点 (x, y) を通る法線の方程式は：

\(Y - y = -\frac{1}{A - 2x}(X - x)\)

ただし、A - 2x = 0（接線が水平）の場合、法線は垂直線 X = x となります。

C++ 実装例

#include <iostream>
using namespace std;

void getNormal(int A, int x, int y) {
    // 接線の傾きを計算
    int slope = A - 2 * x;
    
    // 点が曲線上にあるか確認: y = x(A - x) = Ax - x^2
    if (y == A * x - x * x) {
        if (slope == 0) {
            // 接線が水平 → 法線は垂直線
            cout << "x = " << x;
        } else {
            // 法線の方程式: (Y - y) = -1/slope * (X - x)
            // 整数係数で表示するため整理
            // slope * (Y - y) = -(X - x)
            // slope*Y - slope*y = -X + x
            // X + slope*Y = x + slope*y
            
            cout << "x + " << slope << "y = " << x + slope * y;
        }
    } else {
        cout << "Not possible: point is not on the curve";
    }
}

int main() {
    int A = 5, x = 2, y = 6;  // y = 2(5-2) = 6
    cout << "Equation of normal is: ";
    getNormal(A, x, y);
    return 0;
}

実行結果

Equation of normal is: x + 1y = 8

解説

• 元のコードの問題点: 元のサンプルコードでは曲線の方程式が y == (2 * x - x * x) となっていましたが、正しくは y == A * x - x * x です。
• 法線の方程式の整理: 傾きが分数になるのを避けるため、両辺に傾きをかけて整数係数の形 X + mY = c で出力しています。
• エッジケース: 傾きが 0（接線が水平）の場合は法線が垂直線 x = 定数 となり、傾きが無限大（接線が垂直）の場合は法線が水平線 y = 定数 となります。