C++でネスビットの不等式を判定する方法

ネスビットの不等式（Nesbitt's Inequality）は、正の実数に対して成り立つ有名な数学的不等式の一つです。次のように定義されます。

a / (b + c) + b / (c + a) + c / (a + b) ≥ 1.5（ただし a > 0、b > 0、c > 0）

この不等式は、相加平均・調和平均の関係やコーシー・シュワルツの不等式などを用いて証明できることでも知られています。本記事では、与えられた3つの数値がこのネスビットの不等式を満たしているかどうかを、C++のプログラムで判定する方法を解説します。

アルゴリズム

判定の手順は非常にシンプルで、以下の流れで行います。

• 3つの数値 a、b、c を用意する。
• 式の各項 a / (b + c)、b / (c + a)、c / (a + b) の値をそれぞれ計算する。
• 計算した3つの値をすべて足し合わせる。
• 合計が 1.5 以上であれば「ネスビットの不等式を満たす」、そうでなければ「満たさない」と判定する。

C++での実装

以下は、上記のアルゴリズムをC++で実装したサンプルコードです。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool isValidNesbitt(double a, double b, double c) {
    double A = a / (b + c);
    double B = b / (a + c);
    double C = c / (a + b);
    double result = A + B + C;
    return result >= 1.5;
}

int main() {
    double a = 3.0, b = 4.0, c = 5.0;
    if (isValidNesbitt(a, b, c)) {
        cout << "ネスビットの不等式は満たされています" << endl;
    } else {
        cout << "ネスビットの不等式は満たされていません" << endl;
    }
    return 0;
}

実行結果

上記のコードをコンパイルして実行すると、次のような結果が出力されます。

ネスビットの不等式は満たされています

この例では a = 3.0、b = 4.0、c = 5.0 を入力としており、各項の合計は約 1.55 となるため、不等式が成立していることが確認できます。なお、浮動小数点数を扱うため、厳密な判定が必要な場合は誤差への配慮も検討するとよいでしょう。