C/C++プログラムで中点を繰り返し結合してできる正方形の面積を求める方法

問題の概要

一辺の長さが「a」の正方形があるとします。この正方形の各辺の中点を順に結ぶことで、内側に新しい正方形を作ります。さらに、その新しい正方形に対しても同じ操作を行い、これをn回繰り返すとしましょう。本記事では、n回目に形成される正方形の面積を求める方法を解説します。

数学的な導出

まず、最も外側にある正方形の一辺は「a」なので、その面積は次のように表されます。

面積 = a²

次に、ピタゴラスの定理を利用すると、2番目の正方形の面積を求めることができます。各辺の中点を結んでできる新しい正方形の一辺は、元の正方形の一辺の半分を2つの直角辺とする直角三角形の斜辺に相当します。したがって、新しい一辺の長さは √(a²/2) となり、2番目の正方形の面積は以下のようになります。

面積 = a² / 2

同じ考え方を適用すると、3番目の正方形の面積は次の通りです。

面積 = a² / 4

この規則性から、n番目の正方形の面積は一般的に次の式で表せることが分かります。

n番目の正方形の面積 = a² / 2^(n-1)

C++による実装例

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
float area(float a, float n) {
    if (a < 0 ) //値が負の場合は無効
       return -1;
    float area = (a*a) / pow(2, n-1);
    return area;
}
int main() {
    float a = 20.0, n = 10.0;
    cout << "Area : " << area(a, n);
}

コードのポイント

• 関数areaでは、入力された辺の長さaが負の場合に無効な値として-1を返し、エラー処理を行っています。
• 面積の計算には、一般式「a² / 2^(n-1)」を使用しています。pow(2, n-1)によって2の(n-1)乗を求めています。
• main関数では、一辺20.0、繰り返し回数10回という条件で計算を実行しています。

実行結果

Area : 0.78125

このように、一辺20の正方形から中点を結ぶ操作を10回繰り返すと、最終的に得られる正方形の面積は約0.78125になります。中点を結ぶたびに面積が半分になるというシンプルな規則性を利用することで、任意の回数後の面積を効率的に計算できます。