与えられた3辺から三角形の外接円の面積を求めるC++プログラム

任意の三角形の外接円の面積を求めるには、まずこの問題に関連する基本的な概念を押さえておく必要があります。

基本となる概念

三角形 … 3つの辺を持つ閉じた図形です。
円 … 辺を持たない（あるいは無数の辺を持つとみなせる）閉じた図形です。

他の図形を内側にすっぽりと包み込むように描かれた円を外接円と呼びます。三角形の場合、外接円は3つの頂点すべてを通る円になります。

外接円の半径を求める公式

三角形の3辺の長さをそれぞれ a、b、c とすると、外接円の半径 r は次の数学公式で求められます。

r = abc / √((a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a))

この式は、ヘロンの公式で求めた三角形の面積 S を使った「r = abc / 4S」という形に書き換えることもできます。

外接円の面積を求める

半径 r が分かれば、円の面積は次の式で計算できます。

area = π × r × r

具体的な例で確認してみましょう。三角形の3辺が a = 4、b = 5、c = 3 の場合、半周長は p = 6、ヘロンの公式による三角形の面積は S = 6 となります。したがって、外接円の半径は r = 60 ÷ 24 = 2.5 となり、外接円の面積は約 19.63 です。

C++での実装例

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main() {
    float a = 7, b = 9, c = 13;

    // 辺の値が不正な場合は三角形として扱わない
    if (a <= 0 || b <= 0 || c <= 0) {
        cout << "三角形として成立しません";
        return 0;
    }

    // 半周長を求める
    float p = (a + b + c) / 2;

    // 外接円の半径を計算（r = abc / 4S）
    float r = (a * b * c) / (4 * sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)));

    // 外接円の面積を求める
    float area = 3.14 * pow(r, 2);

    cout << "外接円の面積は " << area;
    return 0;
}

実行結果

外接円の面積は 146.72

コードの解説

このプログラムでは、まず3辺の値から半周長 p を求め、ヘロンの公式で三角形の面積を計算しています。その結果をもとに「r = abc ÷ 4S」から外接円の半径を算出し、最後に「π × r²」によって外接円の面積を求めています。また、辺の値に0以下の数が含まれる場合は三角形が成立しないため、その旨を出力して処理を終了するようになっています。