C++で3D空間における2つの平面間の角度を求める方法

3D空間における2つの平面間の角度について学ぶには、まず「平面」と「角度」の基礎概念を理解しておく必要があります。

平面（Plane）とは、無限に広がる二次元の面のことです。

角度（Angle）とは、1点で交わる2つの直線や面の間にできる空間を度数（°）で表したものです。

この問題では、3D空間における2つの平面間の角度を求めます。互いに交わる2つの平面が与えられ、その交わる角度を計算することになります。

2つの3D平面間の角度を計算するには、それぞれの平面の法線ベクトル間の角度を求めるのがポイントです。

ここに、次の2つの平面があるとします。

p1 : ax + by + cz + d = 0
p2 : hx + iy + jz + k = 0

平面p1とp2の法線の方向ベクトルは、それぞれ (a, b, c) と (h, i, j) です。

この2つの法線ベクトル間の角度を求めるために、以下の数式が用いられます。

Cos Ø = {(a*h) + (b*i) + (c*j)} / [(a2 + b2 + c2)*(h2 + i2 + j2)]1/2
Ø = Cos-1 { {(a*h) + (b*i) + (c*j)} / [(a2 + b2 + c2)*(h2 + i2 + j2)]1/2 }

サンプルコード

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int main() {
    float a = 2;
    float b = 2;
    float c = -1;
    float d = -5;
    float h = 3;
    float i = -3;
    float j = 5;
    float k = -3;
    float s = (a*h + b*i + c*j);
    float t = sqrt(a*a + b*b + c*c);
    float u = sqrt(h*h + i*i + j*j);
    s = s / (t * u);
    float pi = 3.14159;
    float A = (180 / pi) * (acos(s));
    cout<<"Angle is "<<A<<" degree";
    return 0;
}

実行結果

Angle is 104.724 degree

計算の流れの解説

上記のコードの処理の流れは以下の通りです。

• まず、2つの平面の法線ベクトルの内積 (a*h + b*i + c*j) を計算します。
• 次に、各法線ベクトルの大きさ（ノルム）を sqrt() 関数で求めます。
• 内積を2つのノルムの積で割ることで、cos Ø の値を得ます。
• 最後に acos() 関数で逆余弦を求め、ラジアンから度（degree）に変換して平面間の角度を算出します。

このように、法線ベクトルの内積と大きさを利用すれば、C++の標準ライブラリだけで2つの平面間の角度を簡単に求めることができます。3Dグラフィックスや幾何学計算の分野で非常に役立つテクニックです。