C++で3×3行列の対角要素を埋め、行・列・対角線の合計をすべて等しくする方法

3×3の行列があり、最初は対角要素が空になっているとします。ここで、行・列・対角線の合計がすべて等しくなるように対角要素を埋めることを考えます(いわゆる魔方陣の性質です)。元の行列は以下のようになっているとします。

対角要素を埋めた後は、次のようになります。

対角要素の求め方

対角要素を x、y、z とすると、それぞれの値は次の式で求められます。

• x = (M[2, 3] + M[3, 2]) / 2
• z = (M[1, 2] + M[2, 1]) / 2
• y = (x + z) / 2

これは、「行・列・対角線の合計がすべて等しい」という条件を連立させることで、対角要素が残りの6つの要素から一意に導き出せることを利用したものです。まず、両端の対角要素 x と z をそれぞれ反対側の行・列の要素から計算し、その平均として中央の y を求めます。

C++による実装例

#include<iostream>
using namespace std;
void displayMatrix(int matrix[3][3]) {
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++)
            cout << matrix[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
}
void fillDiagonal(int matrix[3][3]) {
    matrix[0][0] = (matrix[1][2] + matrix[2][1]) / 2;
    matrix[2][2] = (matrix[0][1] + matrix[1][0]) / 2;
    matrix[1][1] = (matrix[0][0] + matrix[2][2]) / 2;
    cout << "最終的な行列" << endl;
    displayMatrix(matrix);
}
int main() {
    int matrix[3][3] = {
    { 0, 3, 6 },
    { 5, 0, 5 },
    { 4, 7, 0 }};
    cout << "元の行列" << endl;
    displayMatrix(matrix);
    fillDiagonal(matrix);
}

実行結果

元の行列
0 3 6
5 0 5
4 7 0
最終的な行列
6 3 6
5 5 5
4 7 4

計算結果の検証

この例では、x = (5 + 7) / 2 = 6、z = (3 + 5) / 2 = 4、y = (6 + 4) / 2 = 5 となります。埋めた後の行列を確認すると、各行・各列・各対角線の合計がすべて 15 になっており、条件を満たしていることがわかります。