C++で混合液を目標の濃度にするために必要な水の追加量を求める方法

問題の概要

容量 X の容器に、水と別の液体が混ざった混合液が入っているとします。この混合液に含まれる水の割合は W% です。ここで、水を追加して水の割合を Y% まで引き上げたい場合、何リットルの水を加えればよいのでしょうか?

例えば、X = 125、W = 20、Y = 25 という条件の場合、必要な水の量は 8.33 リットルとなります。

計算式の導出

元の混合液に A リットルの水を加えると、混合液の総量は X + A になります。このとき、混合液中の水の総量は次の式で表せます。

(元の水の量) + A = (X の W%) + A

一方、新しい混合液における水の割合は Y% なので、水の量は (X + A) の Y% と一致します。したがって、次の等式が成り立ちます。

(X + A) の Y% = (X の W%) + A

この式を A について解くことで、以下の公式が得られます。

A = [X × (Y − W)] ÷ (100 − Y)

公式の検証

例の数値を当てはめてみましょう。X = 125、W = 20、Y = 25 の場合、

A = 125 × (25 − 20) ÷ (100 − 25) = 625 ÷ 75 ≒ 8.33

となり、約 8.33 リットルの水を追加すれば水の割合が 25% になることが確認できます。

C++での実装例

#include<iostream>
using namespace std;

float getWaterAmount(float X, float W, float Y) {
    return (X * (Y - W)) / (100 - Y);
}

int main() {
    float X = 125, W = 20, Y = 25;
    cout << "必要な水の量は " << getWaterAmount(X, W, Y) << " リットルです";
    return 0;
}

実行結果

必要な水の量は 8.33333 リットルです

まとめ

この問題は、追加後の水の量を2通りの方法(「元の水の量+追加量」と「新しい総量のY%」)で表し、等式を立てて A について解くことで解決できます。導出した公式 A = X × (Y − W) ÷ (100 − Y) を使えば、容器の容量と現在・目標の濃度が分かっている任意のケースにすぐに適用できます。計算量は O(1) と非常に効率的です。