sin(x)とcos(x)の値を計算するC++プログラムの解説

sin(x)とcos(x)の値を計算するC++プログラム

本記事では、角度を入力として受け取り、その角度に対応するsin(x)（正弦）とcos(x)（余弦）の値を計算して結果を表示するC++プログラムを解説します。ライブラリ関数に頼らず、テイラー展開（マクローリン展開）を用いて数値を近似する手法を紹介します。

sin(x)とは

sin(x)は三角関数の一つで、角度xに対する正弦の値を求めるために使用されます。直角三角形では、斜辺に対する対辺の比として定義されます。

$$\sin (x) = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}$$

この無限級数は「x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …」という形で展開され、項を追加するほど精度の高い近似値が得られます。

cos(x)とは

cos(x)も三角関数の一つで、角度xに対する余弦の値を求めるために使用されます。直角三角形では、斜辺に対する隣辺の比として定義されます。

$$\cos (x) = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}$$

こちらは「1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + …」という形で展開されます。

プログラムのアプローチ

• sin(x)とcos(x)を求める角度xの値を入力する
• 上記のテイラー展開の公式を適用し、誤差が許容範囲（0.0001）以下になるまで項を加算する
• 計算結果を表示する

なお、三角関数の級数展開はラジアン単位で行うため、入力された角度（度）はあらかじめラジアンに変換しておく必要があります。

アルゴリズム

START
Step 1-> sinの値を計算する関数を宣言
    void cal_sin(float n)
    float acc = 0.0001, denominator, sinx, sinval を宣言・設定
    n = n * (3.142 / 180.0) を設定（ラジアンに変換）
    float temp = n を宣言
    sinx = n を設定
    sinval = sin(n) を設定
    int i = 1 を宣言・設定
    DO
        denominator = 2 * i * (2 * i + 1) を設定
        temp = -temp * n * n / denominator を設定
        sinx = sinx + temp を設定
        i = i + 1 を設定
    WHILE(acc <= fabs(sinval - sinx))
        sinx を表示
Step 2-> cosの値を計算する関数を宣言
    void cal_cos(float n)
    float acc = 0.0001, temp, denominator, cosx, cosval を宣言・設定
    n = n * (3.142 / 180.0) を設定（ラジアンに変換）
    temp = 1 を設定
    cosx = temp を設定
    cosval = cos(n) を設定
    int i = 1 を設定
    DO
        denominator = 2 * i * (2 * i - 1) を設定
        temp = -temp * n * n / denominator を設定
        cosx = cosx + temp を設定
        i = i + 1 を設定
    WHILE(acc <= fabs(cosval - cosx))
        cosx を表示
Step 3-> main() 内で
    float n = 30 を宣言
    cal_sin(n) を呼び出し
    n = 60 を設定
    cal_cos(n) を呼び出し
STOP

サンプルコード

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
// sinの値を計算する関数
void cal_sin(float n) {
    float acc = 0.0001, denominator, sinx, sinval;
    n = n * (3.142 / 180.0);  // ラジアンに変換
    float temp = n;
    sinx = n;
    sinval = sin(n);  // 基準値（ライブラリ関数）
    int i = 1;
    do {
        denominator = 2 * i * (2 * i + 1);
        temp = -temp * n * n / denominator;
        sinx = sinx + temp;
        i = i + 1;
    } while (acc <= fabs(sinval - sinx));
    cout << sinx;
}
// cosの値を計算する関数
void cal_cos(float n) {
    float acc = 0.0001, temp, denominator, cosx, cosval;
    n = n * (3.142 / 180.0);  // ラジアンに変換
    temp = 1;
    cosx = temp;
    cosval = cos(n);  // 基準値（ライブラリ関数）
    int i = 1;
    do {
        denominator = 2 * i * (2 * i - 1);
        temp = -temp * n * n / denominator;
        cosx = cosx + temp;
        i = i + 1;
    } while (acc <= fabs(cosval - cosx));
    cout << cosx;
}
int main() {
    float n = 30;
    cout << "value of Sin is : ";
    cal_sin(n);
    cout << "\n";
    n = 60;
    cout << "value of Cos is : ";
    cal_cos(n);
    return 0;
}

出力結果

value of Sin is : 0.500061
value of Cos is : 0.499847

解説

このプログラムでは、変数accが許容誤差（0.0001）を表しており、級数の近似値sinx（またはcosx）とライブラリ関数の値sinval（またはcosval）との差がこの誤差以下になるまで、do-whileループで項の加算を繰り返します。

30度のsinは理論上0.5、60度のcosも0.5ですが、出力結果にはわずかな誤差（0.500061、0.499847）が含まれています。これは、円周率を3.142と近似していること、および許容誤差の設定によるものです。より高い精度が必要な場合は、accの値を小さくしたり、円周率により正確な値（M_PIなど）を使用したりすることで改善できます。