C++でラグランジュの補間公式を用いた逆補間を実装する方法

この記事では、ラグランジュ（Lagrange）の補間公式を用いて逆補間（Inverse Interpolation）を実装するC++プログラムについて詳しく解説します。

逆補間とは？

逆補間とは、未知の関数に対して表形式で与えられた一連のデータ点をもとに、従属変数 y の値から独立変数 x の値を求める手法です。通常の補間が「x の値から y を推定する」のに対し、逆補間はその逆、「y の値から x を推定する」点が大きな特徴です。求めたい y の値が、既知の2つの表の値の間に位置する場合に特に有効です。

ラグランジュの逆補間公式

ここでは x を y の関数とみなし、次のラグランジュ補間公式を適用します。

x(y) = Σ_i [ x_i × Π_j≠i (y − y_j) / (y_i − y_j) ]

各データ点 i について、自分以外のすべての点 j を使った積（Π）を計算し、それを x_i に掛けて足し合わせることで、目的の x を求めます。

C++による実装例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// x と y の値を保持する構造体
struct Data {
    double x, y;
};

// ラグランジュの公式による逆補間の計算
double calc_invinter(Data d[], int n, double y) {
    double x = 0;
    int i, j;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        double xi = d[i].x;
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (j != i) {
                xi = xi * (y - d[j].y) / (d[i].y - d[j].y);
            }
        }
        x += xi;
    }
    return x;
}

int main() {
    Data d[] = {
        { 1.27, 2.3 },
        { 2.25, 2.95 },
        { 2.5, 3.5 },
        { 3.6, 5.1 }
    };
    int n = 4;
    double y = 4.5;
    cout << "Value of x (y = 4.5) : " << calc_invinter(d, n, y) << endl;
    return 0;
}

実行結果

Value of x (y = 4.5) : 2.7949

コードのポイント

• Data構造体： 対になる x・y の値をひとまとめに管理します。
• calc_invinter関数： 外側のループで基準となるデータ点 i を選び、内側のループで j ≠ i となる全点について (y − y_j) / (y_i − y_j) を順に掛け合わせます。これにより各項のラグランジュ係数が求まります。
• main関数： 4組のデータ点と目標値 y = 4.5 を渡し、それに対応する x の値を出力します。

このアルゴリズムの計算量は O(n²) ですが、データ点が少ない場合には非常にシンプルで実用的な手法です。数値解析や実験データの処理など、表にない中間的な y の値から対応する x を素早く推定したい場面で幅広く活用できます。