C++で線形外挿（Linear Extrapolation）を実装する方法

線形外挿とは

外挿（Extrapolation）とは、ある関数について求めたい値が、関数の定義域の下限または上限を超えた範囲にある場合に、その値を推定する手法のことです。

線形外挿の場合は、既知のデータ点を通る直線を関数のグラフ上に引き、その直線を延長することで範囲外の値を求めます。この手法は非常にシンプルながら、実際に適用するとかなり正確な結果が得られることで知られています。

C++での実装例

以下に、線形外挿を計算するC++プログラムを示します。このプログラムでは、x座標とy座標のペアを格納する構造体 Data を定義し、2つの既知のデータ点から直線の方程式を用いて、指定したxの値に対応するyの値を計算します。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// x と y の値を格納する構造体
struct Data {
    double x, y;
};

// 線形外挿を計算する関数
double calc_extrapolate(Data d[], double x) {
    double y;
    y = d[0].y
      + (x - d[0].x)
      / (d[1].x - d[0].x)
      * (d[1].y - d[0].y);
    return y;
}

int main() {
    Data d[] = { { 1.2, 2.7 }, { 1.4, 3.1 } };
    double x = 2.1;
    cout << "Value of y (x = 2.1) : " << calc_extrapolate(d, x) << endl;
    return 0;
}

実行結果

Value of y (x = 2.1) : 4.5

プログラムの解説

このプログラムでは、既知の2点 (1.2, 2.7) と (1.4, 3.1) を通る直線を求め、その直線を x = 2.1 まで延長することでyの値を算出しています。計算に使用される式は以下の通りです。

y = y₀ + (x - x₀) / (x₁ - x₀) × (y₁ - y₀)

この式は、2点間の変化率（傾き）を利用して範囲外の値を推定する、線形外挿の基本的な公式です。データの傾向がほぼ直線的である場合に特に有効で、数値解析やデータ予測の分野で広く活用されています。