C++でラグランジュ補間を実装する方法

ラグランジュ補間とは、既知の複数のデータ点をすべて通る多項式を求めるための補間手法の一つです。このチュートリアルでは、ラグランジュの補間公式を使って、任意の点における値を計算するC++プログラムを作成します。

複雑なロジックを考える必要はありません。公式をそのままコードに変換するだけで実装できます。それでは、コードを見ていきましょう。

ラグランジュ補間の公式

n個のデータ点 (x₀, y₀), (x₁, y₁), …, (xₙ₋₁, yₙ₋₁) が与えられたとき、点 x における y の値は次の公式で求められます。

P(x) = Σᵢ [ yᵢ × Πⱼ≠ᵢ ( (x − xⱼ) / (xᵢ − xⱼ) ) ]

各データ点ごとに「その点以外のすべての点を使った積」を計算し、y値を掛けて、最後にすべてを合計します。

実装例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Data {
    int x, y;
};
double interpolate(Data function[], int xi, int n) {
    double result = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double term = function[i].y;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (j != i) {
                term = term * (xi - function[j].x) / double(function[i].x - function[j].x);
            }
        }
        result += term;
    }
    return result;
}
int main() {
    Data function[] = {{0,3}, {1,2}, {6,9}, {10,17}};
    cout << interpolate(function, 3, 4) << endl;
    return 0;
}

出力

上記のコードを実行すると、次の結果が得られます。

3

コードの解説

プログラムの流れは以下のとおりです。

• interpolate関数: データ点の配列、求めたいx座標(xi)、データ点の個数(n)を引数として受け取ります。
• 外側のループ: 各データ点 i に対して、その点のy値を初期値とする項(term)を作成します。
• 内側のループ: i 以外のすべての点 j について、(xi − xⱼ) / (xᵢ − xⱼ) を順に掛けていきます。これは公式の積(Π)の部分に相当します。
• 合計: すべての項を足し合わせたものが、求める補間値となります。

まとめ

このチュートリアルでは、C++でラグランジュ補間を実装する方法を解説しました。数値解析やデータ補間の基礎となる重要な手法なので、ぜひマスターしておきましょう。チュートリアルについて質問がある場合は、コメント欄でお知らせください。