C++でシンプソンの3/8則を実装する方法｜数値積分プログラムの解説

シンプソンの3/8則とは

シンプソンの3/8則（Simpson's 3/8 rule）は、数値積分を行うための手法の一つです。最も一般的な用途は定積分の数値近似であり、積分区間を3の倍数に等分割し、各区間を三次曲線（三次多項式）で近似することで積分値を求めます。

この手法では、隣接する3つの小区間ごとに4つの点を通る三次曲線を用いて近似を行うため、区間の分割数は必ず3の倍数である必要があります。

計算式

シンプソンの3/8則の公式は次の通りです。

∫_a^b f(x)dx ≒ (3h/8) × [f(a) + 3f(a+h) + 3f(a+2h) + 2f(a+3h) + … + 3f(b−h) + f(b)]

ここで、h = (b − a) / n は区間幅、n は3の倍数の分割数です。内部の点のうち、3の倍数番目の点には係数2が、それ以外の点には係数3が掛けられます。

サンプルコード

#include<iostream>
using namespace std;
//被積分関数の定義
float func_inte( float x){
   return (1 / ( 1 + x * x ));
}
//近似値を計算する関数
float func_calculate(float lower_limit, float upper_limit, int interval_limit ){
   float value;
   float interval_size = (upper_limit - lower_limit) / interval_limit;
   float sum = func_inte(lower_limit) + func_inte(upper_limit);
   for (int i = 1 ; i < interval_limit ; i++) {
      if (i % 3 == 0)
         sum = sum + 2 * func_inte(lower_limit + i * interval_size);
      else
         sum = sum + 3 * func_inte(lower_limit + i * interval_size);
   }
   return ( 3 * interval_size / 8 ) * sum ;
}
int main(){
   int interval_limit = 8;
   float lower_limit = 1;
   float upper_limit = 8;
   float integral_res = func_calculate(lower_limit, upper_limit, interval_limit);
   cout << integral_res << endl;
   return 0;
}

コードの解説

• func_inte：被積分関数 f(x) = 1/(1 + x²) を定義しています。
• func_calculate：区間幅 h を求め、両端点の関数値を合計に加えた後、内部の点をループで処理します。インデックス i が3の倍数のときは係数2、それ以外は係数3を乗じて加算し、最後に (3h/8) を掛けて積分の近似値を返します。
• main：積分区間 [1, 8]、分割数 8 を指定して計算を実行し、結果を標準出力します。

出力結果

0.663129

まとめ

このプログラムでは、f(x) = 1/(1 + x²) を区間 [1, 8] で8分割して数値積分し、約 0.663129 という結果を得ました。シンプソンの3/8則は、分割数を増やすことで近似精度を向上させることができますが、分割数は必ず3の倍数にする必要がある点に注意してください。