C++で3つの数値の共通比(連比)を求めるプログラム

この記事では、x:y と y:z という2つの比が与えられたときに、3つの数値の共通比(連比)x:y:z を求める C++ プログラムを紹介します。

問題の概要

与えられた2つの比をもとに、3つの数値 x、y、z の連比 x:y:z を導き出すことが課題です。

入力例

3:5 8:9

出力例

24 : 40 : 45

考え方

ここでは、x:y と y:z という2つの異なる比が与えられています。連比 x:y:z を作成するには、両方の比で中央の値 y を同じ数値に揃える必要があります。そのために用いるのが「たすき掛け(クロス乗算)」です。

具体的には、1つ目の比の各項に y₂ を、2つ目の比の各項に y₁ を掛けることで、次の形の連比が得られます。

x × y₂ : y₁ × y₂ : y₁ × z

先ほどの例に当てはめると、3×8 : 5×8 : 5×9 = 24 : 40 : 45 が求める連比となります。

解法アプローチ

上記の例のように、両方の比で中央の要素 y を共通化する必要があります。単純なたすき掛けでも計算は可能ですが、入力値によっては結果の数値が不必要に大きくなってしまうことがあります。

そこでより効率的な方法として、最小公倍数(LCM) を利用するアプローチがあります。y₁ と y₂ の最小公倍数 L を求め、連比を以下の式で計算します。

(x × L) / y₁ : L : (z × L) / y₂

この方法なら、可能な限り小さい整数のまま連比を表現できます。

プログラム例

#include <iostream>
using namespace std;
int calcLcm(int a, int b){
    int lcm = 2;
    while(lcm <= a*b) {
        if( lcm%a==0 && lcm%b==0 ) {
            return lcm;
            break;
        }
        lcm++;
    }
    return 0;
}
void calcThreeProportion(int x, int y1, int y2, int z){
    int lcm = calcLcm(y1, y2);
    cout<<((x*lcm)/y1)<<" : "<<lcm<<" : "<<((z*lcm)/y2);
}
int main() {
    int x = 12, y1 = 15, y2 = 9, z = 16;
    cout<<"The ratios are\t"<<" x:y = "<<x<<":"<<y1<<"\ty:z = "<<y2<<":"<<z<<endl;
    cout<<"The common ratio of three numbers is\t";
    calcThreeProportion(x, y1, y2, z);
    return 0;
}

実行結果

The ratios are x:y = 12:15 y:z = 9:16
The common ratio of three numbers is 36 : 45 : 80

プログラムのポイント

calcLcm 関数は、総当たり方式で2つの整数の最小公倍数を求めています。calcThreeProportion 関数では、その最小公倍数を利用して中央の値を統一し、3つの数値からなる連比を計算して出力します。

この例では、LCM(15, 9) = 45 となるため、連比は (12×45)/15 : 45 : (16×45)/9 = 36 : 45 : 80 と計算されます。たすき掛けで直接計算した場合(180 : 225 : 400)と比べて、よりシンプルな整数比が得られる点がこの手法の利点です。