C++で最初のN個の自然数の平均を求める方法

この記事では、数値nが与えられたときに最初のN個の自然数の平均を求める方法について解説します。

平均とは、すべての数値の合計をその個数で割った値として定義されます。つまり、最初のN個の自然数の平均は、「1からNまでの自然数の合計」を「N」で割った値ということになります。

問題の例

入力 : N = 23
出力 : 12

説明：

1 + 2 + 3 + ... + 22 + 23 = 276
276 / 23 = 12

解法のアプローチ

平均を求めるためには、以下の基本的な公式を使用します。

Average = sum(N) / N

Average = (1 + 2 + 3 + ... + N) / N

ここで、最初のN個の自然数の合計は、等差数列の和の公式から次のように表せます。

sum = N × (N + 1) / 2

この合計の公式を平均の式に代入すると、次のように簡略化できます。

Average = (N × (N + 1)) / (2 × N) = (N + 1) / 2

この公式を使えば、ループ処理を一切行わずにO(1)の時間計算量で平均を算出できます。Nが非常に大きい場合でも高速に動作するのが大きな利点です。

実装例

以下は、上記の解法の動作を示すC++プログラムです。

#include <iostream>
using namespace std;
float calcAverage(int n) {
   return (float)( ((float)n + 1 )/2 );
}
int main() {
   int N = 45;
   cout<<"最初の "<<N<<" 個の自然数の平均は "<<calcAverage(N);
   return 0;
}

出力結果

最初の 45 個の自然数の平均は 23

まとめ

最初のN個の自然数の平均は、数学的な公式 (N + 1) / 2 を利用することで、シンプルかつ効率的に計算できます。整数同士の除算による切り捨て誤差を防ぐため、コード内では float 型へのキャストを行っている点にも注目してください。