C++でN個のコンテナからXを引き当てる確率を最大化する方法

確率は一般に次の式で表されます。

Pi =(有利な結果の数)/(結果の総数)

ここで、コンテナの個数を表す整数 N が与えられ、2つの数値 X と Y のコピーがそれぞれ N 個ずつあるとします。この課題では、X のコピーを N 個のコンテナへ振り分けることで、「X を引き当てる確率」を最大にすることを目指します。

上記の定義から、Pi を最大化するには分子(有利な結果の数)を大きくするか、分母(結果の総数)を小さくすればよいことがわかります。最適な戦略は、Y のコピーを1つのコンテナに集中させ、それ以外のすべてのコンテナには X のみを入れることです。具体的には次のように配置します。

• N-1 個のコンテナには、それぞれ X のコピーを1個ずつ入れる
• 残り1個のコンテナには、X のコピー1個と Y のコピー N 個を入れる

最大確率の導出

最初の N-1 個のコンテナから X を引き当てる確率は次のとおりです。

P(n-1) = 1

最後のコンテナから X を引き当てる確率は、X 1個に対して Y が N 個存在するため、次のようになります。

Pn = 1 / (N + 1)

全体の確率 Pm は、各コンテナの確率を平均すると次の式にまとめられます。

Pm = ((N − 1) × 1 + 1 / (N + 1)) / N
∴ Pm = N / (N + 1)

入出力例

入力: N = 1

出力: N = 1 のときの最大確率は 0.5

説明: コンテナが1個だけで、その中に X と Y がそれぞれ1個ずつ入っているため、X を引き当てる最大確率は 0.5 となります。

入力: N = 3

出力: N = 3 のときの最大確率は 0.75

説明: すべてのコンテナに X のコピーが1個ずつ入っており、最後のコンテナには Y のコピー3個がすべて集められています。

プログラムのアプローチ

• コンテナの個数 N を整数値として受け取ります。
• X を引き当てる最大確率を格納する変数(例:maxP)を宣言します。
• 与えられた N に対して、maxP = N / (N + 1) として計算します。

C++による実装例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int N = 3;
    double maxP = (double)N / (N + 1);
    cout << "Maximum Probability for N = " << N << " is, " << maxP << endl;
    return 0;
}

出力

上記のコードを実行すると、次の出力が得られます。

Maximum Probability for N = 3 is, 0.75