C++で与えられた辺の合計から直方体の体積を最大化する方法

この記事では、直方体の3辺(長さ・幅・高さ)の合計が与えられたとき、その体積を最大化する方法を解説します。直方体の体積は3辺の積として計算され、各辺をできるだけ均等に近づけることで最大値が得られます。

直方体の体積とは

直方体には「長さ」「幅」「高さ」の3つの辺があります。体積は次の式で求められます。

直方体の体積 = 長さ × 幅 × 高さ

体積を最大化するためには、3つの辺を互いにできるだけ近い値にすることがポイントです。これは相加平均・相乗平均の関係からも、和が一定のとき3数が等しい場合に積が最大になることが知られています。

問題の具体例

辺の合計Sが与えられ、各辺をL、B、Hとします。体積を最大化するには、できるだけ近い値の組み合わせを見つける必要があります。例えばS=6の場合、考えられる組み合わせは以下の通りです。

[L=1, B=1, H=4] 体積 = 4
[L=1, B=2, H=3] 体積 = 6
[L=2, B=2, H=2] 体積 = 8

他の組み合わせでも結果は変わりません。つまり、L、B、Hが互いに近い値(または等しい値)であるときに最大の体積が得られます。

入力例1

入力: S = 6

出力: 与えられた辺の合計を持つ直方体の最大体積は 8

説明: 合計SをL、B、Hにできるだけ均等に分割します。

L = S / 3 → (L = 2、残りのSは4)
B = (S - L) / 2 = (S - S/3) / 2 → (B = 2、残りのSは2)
H = S - L - B → (H = 2、残りのSは0)

入力例2

入力: S = 10

出力: 与えられた辺の合計を持つ直方体の最大体積は 36

説明: 同様に、合計Sをできるだけ均等に分割します。

L = S / 3 → (L = 3、残りのSは7)
B = (S - L) / 2 = (S - S/3) / 2 → (B = 3、残りのSは4)
H = S - L - B → (H = 4、残りのSは0)

アルゴリズムのアプローチ

• ユーザーから辺の合計値を入力として受け取ります。
• 長さを「合計 ÷ 3」(整数演算)で計算し、合計から長さを引いて更新します。
• 幅を「合計 ÷ 2」(整数演算)で計算し、合計から幅を引いて更新します。
• 残った合計を高さとして割り当てます。
• 注意: 各辺を計算する順序は結果に影響しません。

この手法では除算と減算のみを使用するため、計算量はO(1)と非常に効率的です。

C++での実装例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int Maximize_Volume(int sumofsides){
    int length, breadth, height;
    length = breadth = height = 0;
    // 長さを求める
    length = sumofsides / 3;
    sumofsides -= length;
    // 幅を求める
    breadth = sumofsides / 2;
    // 残りの合計が高さになる
    height = sumofsides - breadth;
    return length * breadth * height;
}
// メイン関数
int main(){
    int sos = 12;
    cout << "与えられた辺の合計を持つ直方体の最大体積は " << Maximize_Volume(sos) << endl;
    return 0;
}

実行結果

上記のコードを実行すると、以下の出力が得られます。

与えられた辺の合計を持つ直方体の最大体積は 64

S=12の場合、L=4、B=4、H=4となり、体積は4×4×4=64となります。このように、辺の合計を3つに均等に近づけて分配するだけで、簡単かつ高速に最大体積を求めることができます。