C++でガウスのジョーダン法を使用して行列の逆行列を見つける

この問題では、2D行列mat[][]が与えられます。私たちのタスクは、ガウスのジョーダン法を使用して行列の逆行列を見つけることです。 。

それでは、問題の基本を理解しましょう。

マトリックス は数値の2次元配列です。

例

$ \ begin {bmatrix} 2＆5＆4 \\ 1＆6＆7 \\ 9＆3＆8 \ end {bmatrix} $

逆行列[A-1] −

正方行列に対して実行される操作です。以下は、行列が逆行列を持つために必要なプロパティです-

• 初期行列は正方行列である必要があります。

• 正則行列でなければなりません。

• 行列Aに対して、次のような単位行列Iが存在します。

$$ AA ^ {-1} =A ^ {-1} .A =I $$

それらは、与えられた行列の逆行列を見つけるために使用できる式です。

$ A ^ {-1} \：=\：\ left（\ frac {adj（A）} {\ det（A）} \ right）$

adj（A）は行列Aの随伴作用素

det（A）は行列式Aの行列式です。

それらは、行列の逆行列を見つけるために使用する複数の方法です。この記事では、ガウスの消去法について学習します。 これは、 Elementary Row Opeationとも呼ばれます。 。

行列の逆行列を見つけるのは段階的な方法です。関連する手順は次のとおりです-

• 単位行列を使用して拡大行列を見つける。

• 手順1で見つけた拡大行列に対して行階段形を実行して、行列の階段形を見つけます。

• プロセスで拡大行列に対して実行できる操作は次のとおりです

  • 行の交換 （任意の2行を交換できます）

  • 掛け算 （行の各要素には、0以外の定数値を掛けることができます。）

  • 行交換（行を行の合計と行列の別の行の定数倍に置き換えます）。

例

ソリューションの動作を説明するプログラム

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void printMatrixValues(float** arr, int n, int m){
   for (int i = 0; i < n; i++) {
      for (int j = 0; j < m; j++) {
         cout<<arr[i][j]<<"\t";
      }
      cout<<endl;
   }
   return;
}
void printInverseMatrix(float** arr, int n, int m){
   for (int i = 0; i < n; i++) {
      for (int j = n; j < m; j++) {
         printf("%.3f\t", arr[i][j]);
      }
      cout<<endl;
   }
   return;
}
void findInvMatGaussJordan(float** mat, int order){
   float temp;
   printf("The inverse of matrix : A = \n");
   printMatrixValues(mat, order, order);
   for (int i = 0; i < order; i++) {
      for (int j = 0; j < 2 * order; j++) {
         if (j == (i + order))
            mat[i][j] = 1;
      }
   }
   for (int i = order - 1; i > 0; i--) {
      if (mat[i - 1][0] < mat[i][0]) {
         float* temp = mat[i];
         mat[i] = mat[i - 1];
         mat[i - 1] = temp;
      }
   }
   for (int i = 0; i < order; i++) {
      for (int j = 0; j < order; j++) {
         if (j != i) {
            temp = mat[j][i] / mat[i][i];
            for (int k = 0; k < 2 * order; k++) {
               mat[j][k] -= mat[i][k] * temp;
            }
         }
      }
   }
   for (int i = 0; i < order; i++) {
      temp = mat[i][i];
      for (int j = 0; j < 2 * order; j++) {
         mat[i][j] = mat[i][j] / temp;
      }
   }
   cout<<"A' =\n";
   printInverseMatrix(mat, order, 2 * order);
   return;
}
int main(){
   int order = 3;
   float** mat = new float*[20];
   for (int i = 0; i < 20; i++)
   mat[i] = new float[20];
   mat[0][0] = 6; mat[0][1] = 9; mat[0][2] = 5;
   mat[1][0] = 8; mat[1][1] = 3; mat[1][2] = 2;
   mat[2][0] = 1; mat[2][1] = 4; mat[2][2] = 7;
   findInvMatGaussJordan(mat, order);
   return 0;
}

出力

The inverse of matrix : A =
6 9 5
8 3 2
1 4 7
A' =
-0.049  0.163  -0.011
0.205  -0.141  -0.106
-0.110  0.057  0.205