C++で割線法（セカント法）を使って方程式の根を求めるプログラム

このチュートリアルでは、C++を使用して割線法（セカント法）により方程式の根を求めるプログラムを紹介します。

割線法は、数値解析における代表的な求根アルゴリズムの一つです。導関数を必要とせず、2つの初期値から反復計算を行うことで解に収束させられるため、ニュートン法の代替手法としても広く利用されています。ここでは、与えられた方程式の根を、この反復的な割線法を用いて求める手順を解説します。

割線法の仕組み

割線法では、まず方程式 f(x) = 0 の解が含まれると期待される2つの初期値 x1 と x2 を選びます。このとき、f(x1) と f(x2) の符号が異なること（f(x1) × f(x2) < 0）が重要な条件となります。

続いて、2点 (x1, f(x1)) と (x2, f(x2)) を通る直線（割線）と x 軸との交点を、次の近似値 x0 として計算します。この操作を、隣接する2つの近似値の差が許容誤差 E より小さくなるまで繰り返すことで、方程式の根を数値的に求めることができます。

C++による実装例

以下のサンプルコードでは、f(x) = x³ + x − 1 の根を、初期値 x1 = 0、x2 = 1、許容誤差 E = 0.0001 の条件で求めています。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
float f(float x) {
    float f = pow(x, 3) + x - 1;
    return f;
}
void secant(float x1, float x2, float E) {
    float n = 0, xm, x0, c;
    if (f(x1) * f(x2) < 0) {
        do {
            // 中間値を計算
            x0 = (x1 * f(x2) - x2 * f(x1)) / (f(x2) - f(x1));
            c = f(x1) * f(x0);
            x1 = x2;
            x2 = x0;
            n++;
            if (c == 0)
            break;
            xm = (x1 * f(x2) - x2 * f(x1)) / (f(x2) - f(x1));
        } while (fabs(xm - x0) >= E);
        cout << "Root of the given equation=" << x0 << endl;
        cout << "No. of iterations = " << n << endl;
    } else
    cout << "Can not find a root in the given inteval";
}
int main() {
    // 初期値の設定
    float x1 = 0, x2 = 1, E = 0.0001;
    secant(x1, x2, E);
    return 0;
}

出力結果

Root of the given equation=0.682326
No. of iterations = 5

コードのポイント

• 関数 f(x)：対象となる方程式 f(x) = x³ + x − 1 を定義しています。他の方程式を解きたい場合は、この部分を書き換えるだけで対応できます。
• secant() 関数：割線法の本体となる部分です。最初に f(x1) × f(x2) < 0 を確認し、条件を満たさない場合は指定区間内に根が存在しない可能性があるため、エラーメッセージを表示して終了します。
• 反復処理：割線の公式 x0 = (x1·f(x2) − x2·f(x1)) / (f(x2) − f(x1)) を用いて新しい近似値を算出し、誤差 |xm − x0| が E 未満になるまで do-while ループで繰り返します。
• 反復回数 n：収束までにかかった試行回数を記録し、最終的に結果とともに出力します。

実行結果から、この方程式の根は約 0.682326 であり、わずか5回の反復で十分な精度に収束したことがわかります。割線法は導関数が不要で収束も比較的速いため、実際の数値計算で非常に有用な手法です。