【C言語】指定された半径を持つn辺の正多角形の面積を求める方法

正多角形とは、n個の等しい辺と等しい内角を持つ閉じた図形のことです。本記事で扱う「半径」とは、多角形の中心から任意の頂点までの距離を指します。

下の図に示すように、正多角形は中心を共有するn個の同一の二等辺三角形に分割できます。この性質を利用すると、多角形全体の面積を三角法を用いたシンプルな式から導き出すことができます。

面積の導出手順

まず、基本となる三角形の面積の公式は次のとおりです。

三角形の面積 = (底辺 × 高さ) / 2

三角法を用いると、中心角が t の小さな三角形の面積は次のように表されます。

面積 = r2・sin(t)・cos(t) = (r2・sin(2t)) / 2

正多角形は n 個の同じ三角形で構成されているため、全体の面積は「1つの三角形の面積 × n」で求められます。

面積 = n ・ r2・sin(2t) / 2
= n ・ r2・sin(360°/n) / 2

ここで、分割された各三角形の頂角は 360°/n になる点に注意してください。

C言語での実装例

以下は、半径 r = 4、辺の数 n = 12 の正十二角形の面積を計算するCプログラムです。C言語の sin() 関数はラジアンを引数として受け取るため、角度に π/180 を掛けてラジアンへ変換しています。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    float r = 4, n = 12;
    float area = ((r * r * n) * sin((360 / n) * 3.14159 / 180)) / 2;
    printf("area = %f", area);
    return 0;
}

実行結果

area = 47.999962

理論値では、この正十二角形の面積は 12 × 4² × sin(30°) / 2 = 48 となります。出力が 47.999962 とわずかに異なるのは、円周率を 3.14159 と近似しているためです。より高い精度が必要な場合は、math.h で定義されている M_PI を使うか、円周率の有効桁数を増やすとよいでしょう。