C++で点が円の内側にあるかどうかを判定する方法

円の中心座標と半径、そして1つの点が与えられたとき、その点が円の内側にあるかどうかを判定する問題です。この問題は、点から円の中心までの距離を計算すれば解決できます。その距離が半径以下であれば点は円の内側(または円周上)にあり、そうでなければ外側にあると判断できます。

判定の考え方

点 (x, y) と円の中心 (cx, cy) の間の距離 d は、次の式で求められます。

d = √((x − cx)² + (y − cy)²)

この距離 d が半径 r 以下であれば点は円の内側、r より大きければ外側です。実際のプログラムでは、平方根の計算を省いて「距離の2乗」と「半径の2乗」を直接比較すると、処理が高速になり、浮動小数点演算による誤差も防げるためおすすめです。

C++によるサンプルコード

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

bool isInsideCircle(int cx, int cy, int r, int x, int y) {
    int dist = (x - cx) * (x - cx) + (y - cy) * (y - cy);
    if (dist <= r * r)
        return true;
    else
        return false;
}

int main() {
    int x = 4, y = 4, cx = 1, cy = 1, rad = 6;
    if (isInsideCircle(cx, cy, rad, x, y)) {
        cout << "Inside Circle";
    } else {
        cout << "Outside Circle";
    }
}

実行結果

Inside Circle

コードの解説

isInsideCircle関数では、点と中心のx座標の差およびy座標の差をそれぞれ2乗して足し合わせています。これは「点と中心の距離の2乗」に相当し、この値が r * r(半径の2乗)以下であれば true を返すことで、点が円の内側にあると判定されます。

main関数では、点 (4, 4)、円の中心 (1, 1)、半径 6 という条件で判定を行っています。点と中心の距離の2乗は (4−1)² + (4−1)² = 18 となり、半径の2乗である 36 以下のため、点は円の内側にあると判断され、「Inside Circle」が出力されます。

なお、このアルゴリズムの計算量は O(1) です。座標の値に関わらず常に一定の時間で判定できるため、大量の点をまとめて処理する場合にも非常に効率的です。