C++でn番目のエルミート数を求める方法

この記事では、整数 N が与えられたときに、n番目のエルミート数（Hermite Number） を求めるプログラムをC++で作成する方法を解説します。

エルミート数とは

エルミート数とは、引数が0の場合におけるエルミート多項式の値のことです。

n番目のエルミート数は、以下の漸化式で定義されます。

HN = (-2) × (N − 1) × H(N−2)

初期値は H₀ = 1、H₁ = 0 です。

エルミート数列は次のように続きます。

1, 0, -2, 0, 12, 0, -120, 0, 1680, 0 …

入出力例

入力：

N = 7

出力：

0

入力：

N = 6

出力：

-120

奇数番目のエルミート数はすべて 0 になり、偶数番目のみが値を持つことが例からも分かります。

解法1：再帰を使ったシンプルなアプローチ

最もシンプルな解決策は、エルミート数の漸化式をそのまま再帰関数として実装する方法です。これにより、N番目の項を直接求めることができます。

実装例

#include <iostream>
using namespace std;

int calcNHermiteNumber(int N) {
    if (N == 0)
        return 1;
    if (N % 2 == 1)
        return 0;
    else
        return -2 * (N - 1) * calcNHermiteNumber(N - 2);
}

int main() {
    int N = 10;
    cout << "The " << N << "th hermite Number is " << calcNHermiteNumber(N);
    return 0;
}

出力

The 10th hermite Number is -30240

解法2：効率的なアプローチ

より効率的に解くには、漸化式から導かれる一般公式を使用します。

• N が奇数の場合、エルミート数は必ず 0 になります。
• N が偶数の場合、次の公式によって値が定義されます。

HN = ((-1)^(N/2)) × (2^(N/2)) × (N−1)!!

ここで (N−1)!! は半階乗（semi-factorial）と呼ばれ、(n−1) × (n−3) × … × 3 × 1 のように計算されます。

実装例

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int calcSemiFact(int n) {
    int factVal = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i = i + 2) {
        factVal *= i;
    }
    return factVal;
}

int calcNHermiteNumber(int n) {
    if (n % 2 == 1)
        return 0;
    int HermiteNumber = (pow(2, n / 2)) * calcSemiFact(n - 1);
    if ((n / 2) % 2 == 1)
        HermiteNumber *= -1;
    return HermiteNumber;
}

int main() {
    int N = 10;
    cout << "The " << N << "th hermite Number is " << calcNHermiteNumber(N);
    return 0;
}

出力

The 10th hermite Number is -30240

このように、再帰による実装は直感的で分かりやすい一方、一般公式を用いた実装はループ処理のみで計算できるため、大きなNに対しても安定して動作するという利点があります。