C++で平行四辺形を完成させる4点目の座標をすべて求める方法

本記事では、与えられた3つの座標から、面積がゼロではない平行四辺形を完成させるために必要な「4点目」の座標候補をすべて求める方法を解説します。A、B、Cという3点が与えられている場合、平行四辺形の構成として考えられるのは、次の3パターンだけです。

• AB と AC を辺とし、BC を対角線とするケース
• AB と BC を辺とし、AC を対角線とするケース
• BC と AC を辺とし、AB を対角線とするケース

つまり、3つの座標が決まれば、平行四辺形を形成できる4点目の座標は最大でも3通りしか存在しません。平行四辺形には「向かい合う辺は平行で長さが等しい」という重要な性質があるため、AD = BC および AB = CD が成り立ちます。この性質を座標の差分で表現すると、欠けている点 D の座標は次のように計算できます。

(Dx − Ax, Dy − Ay) = (Cx − Bx, Cy − By)
Dx = Ax + Cx − Bx
Dy = Ay + Cy − By

同様の考え方を対角線の組み合わせごとに適用すると、3つの候補点はそれぞれ次の式で求まります。

• D₁ = A + B − C（AC を対角線とする場合）
• D₂ = A + C − B（AB を対角線とする場合）
• D₃ = B + C − A（BC を対角線とする場合）

C++での実装例

#include <iostream>
using namespace std;

// 3点から平行四辺形を完成させる4点目の候補をすべて表示する
void printPoints(int ax, int ay, int bx, int by, int cx, int cy) {
    cout << ax + bx - cx << ", " << ay + by - cy << endl;
    cout << ax + cx - bx << ", " << ay + cy - by << endl;
    cout << bx + cx - ax << ", " << by + cy - ay << endl;
}

int main() {
    int ax = 5, ay = 0; // 点Aの座標
    int bx = 1, by = 1; // 点Bの座標
    int cx = 2, cy = 5; // 点Cの座標

    printPoints(ax, ay, bx, by, cx, cy);
    return 0;
}

実行結果

4, -4
6, 4
-2, 6

1行目は AC が対角線になる場合、2行目は AB が対角線になる場合、3行目は BC が対角線になる場合の、それぞれ4点目の座標に対応しています。

計算量と注意点

このアルゴリズムは単純な加減算のみで構成されているため、時間計算量は O(1) であり、追加のメモリもほとんど不要です。ただし、与えられた3点が同一直線上にある場合は、どの組み合わせを選んでも面積がゼロの「つぶれた平行四辺形」になってしまうため、問題の要件によっては事前に共線（コリニア）判定を入れておくと安全です。