C++で二分探索木(BST)にノードを挿入する方法を解説

二分探索木(Binary Search Tree、BST)が与えられたとします。ここでは、挿入したいノードをパラメータとして受け取り、挿入操作を行うメソッドを1つだけ実装します。重要なポイントは、挿入操作を行った後も木がBSTの性質(左の子 < 親 < 右の子)を維持していることです。

例えば、次のようなBSTがあるとします。

この木に「5」を挿入すると、BSTの規則に従って適切な位置が探索され、木は次のようになります。

解決のためのアプローチ

この問題は、再帰を使うことでシンプルに解くことができます。手順は以下の通りです。

• insert() という再帰的なメソッドを実装します。引数として挿入する値 v を受け取ります。
• ルートが null の場合、与えられた値 v を持つ新しいノードを作成し、それをルートとして返します。
• ルートの値が v より大きい場合、値は左側の部分木に属するため、左部分木に対して再帰的に挿入を行います(root->left = insert(root->left, v))。
• それ以外の場合(ルートの値が v 以下の場合)、右部分木に対して再帰的に挿入を行います(root->right = insert(root->right, v))。
• 最後にルートを返します。

C++での実装例

より理解を深めるために、以下の実装例を見てみましょう。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class TreeNode{
   public:
      int val;
      TreeNode *left, *right;
      TreeNode(int data){
         val = data;
         left = right = NULL;
      }
};
void insert(TreeNode **root, int val){
   queue<TreeNode*> q;
   q.push(*root);
   while(q.size()){
      TreeNode *temp = q.front();
      q.pop();
      if(!temp->left){
         if(val != NULL)
            temp->left = new TreeNode(val);
         else
            temp->left = new TreeNode(0);
         return;
      }
      else{
         q.push(temp->left);
      }
      if(!temp->right){
         if(val != NULL)
            temp->right = new TreeNode(val);
         else
            temp->right = new TreeNode(0);
         return;
      }
      else{
         q.push(temp->right);
      }
   }
}
TreeNode *make_tree(vector<int> v){
   TreeNode *root = new TreeNode(v[0]);
   for(int i = 1; i<v.size(); i++){
      insert(&root, v[i]);
   }
   return root;
}
void tree_level_trav(TreeNode*root){
   if (root == NULL) return;
      cout << "[";
   queue<TreeNode *> q;
   TreeNode *curr;
   q.push(root);
   q.push(NULL);
   while (q.size() > 1) {
      curr = q.front();
      q.pop();
      if (curr == NULL){
         q.push(NULL);
      }
      else {
         if(curr->left)
            q.push(curr->left);
         if(curr->right)
            q.push(curr->right);
         if(curr->val == 0 || curr == NULL){
            cout << "null" << ", ";
         }
         else{
            cout << curr->val << ", ";
         }
      }
   }
   cout << "]"<<endl;
}
class Solution {
public:
   TreeNode* insertIntoBST(TreeNode* root, int val) {
      if(!root)return new TreeNode(val);
      if(root->val > val){
         root->left = insertIntoBST(root->left, val);
      }
      else root->right = insertIntoBST(root->right, val);
         return root;
   }
};
main(){
   Solution ob;
   vector<int> v = {4,2,7,1,3};
   TreeNode *root = make_tree(v);
   tree_level_trav(ob.insertIntoBST(root, 5));
}

入力

[4,2,7,1,3]
5

出力

[4,2,7,1,3,5]

アルゴリズムのポイントと計算量

この挿入アルゴリズムでは、ルートから出発して値の大小を比較しながら挿入位置まで降りていくため、BSTの性質が自動的に保たれます。計算量について見てみましょう。

• 時間計算量: 木の高さを h とすると O(h)。バランスの取れたBSTでは O(log n) ですが、最悪ケース(木が連結リストのように偏っている場合)では O(n) となります。
• 空間計算量: 再帰呼び出しのスタック深さに依存するため O(h) です。

なお、サンプルコード内の make_tree() はテスト用に木を構築するための補助関数で、こちらはキューを使った幅優先の挿入を行っています。実際のBSTへの挿入ロジックは Solution クラスの insertIntoBST() メソッドに実装されています。