C++で二分探索木（BST）をGreater Sum Treeに変換する方法

問題の概要

ここでは、互いに異なる値を持つ二分探索木（BST）のルートが与えられたとします。この木を、各ノードの新しい値が「元の木に存在する値の中で、そのノードの値以上であるものの総和」と等しくなるように書き換えることを考えましょう。ただし、変更後も木が二分探索木としての性質（左の子 ＜ 親 ＜ 右の子）を保っている必要があります。

例として、入力の木が次のような場合を考えてみます。

このとき、出力される木は以下のようになります。

解決のためのアプローチ

この問題は、逆中順走査（右部分木 → 現在のノード → 左部分木 の順で訪問する降順走査）を使うことでエレガントに解けます。BSTをこの順序で巡回すると、ノードが大きい値から小さい値へと訪問されるため、訪問しながら累積和を取っていくと、各ノードの処理時点での累積和がまさに「その値以上の値の総和」になります。

具体的な手順は以下の通りです。

• グローバル変数 global を 0 で初期化します。
• ルートを引数に取る再帰関数 solve() を定義します。
• ルートの右部分木が NULL でない場合は、まず右部分木に対して solve() を呼び出します。
• global に現在のノードの値を加算し、その結果をノードの新しい値として設定します。
• ルートの左部分木が NULL でない場合は、最後に左部分木に対して solve() を呼び出します。
• ルートを返します。

それでは、実際の実装を見て理解を深めましょう。

C++での実装例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class TreeNode{
   public:
   int val;
   TreeNode *left, *right;
   TreeNode(int data){
      val = data;
      left = NULL;
      right = NULL;
   }
};
void insert(TreeNode **root, int val){
   queue<TreeNode*> q;
   q.push(*root);
   while(q.size()){
      TreeNode *temp = q.front();
      q.pop();
      if(!temp->left){
         if(val != NULL)
            temp->left = new TreeNode(val);
         else
            temp->left = new TreeNode(0);
         return;
      }else{
         q.push(temp->left);
      }
      if(!temp->right){
         if(val != NULL)
            temp->right = new TreeNode(val);
         else
            temp->right = new TreeNode(0);
         return;
      }else{
         q.push(temp->right);
      }
   }
}
TreeNode *make_tree(vector<int> v){
   TreeNode *root = new TreeNode(v[0]);
   for(int i = 1; i<v.size(); i++){
      insert(&root, v[i]);
   }
   return root;
}
void tree_level_trav(TreeNode*root){
   if (root == NULL) return;
   cout << "[";
   queue<TreeNode *> q;
   TreeNode *curr;
   q.push(root);
   q.push(NULL);
   while (q.size() > 1) {
      curr = q.front();
      q.pop();
      if (curr == NULL){
         q.push(NULL);
      }
      else {
         if(curr->left)
            q.push(curr->left);
         if(curr->right)
            q.push(curr->right);
         if(curr == NULL || curr->val == 0){
            cout << "null" << ", ";
         }else{
            cout << curr->val << ", ";
         }
      }
   }
   cout << "]"<<endl;
}
class Solution {
   public:
   int global = 0;
   TreeNode* bstToGst(TreeNode* root) {
      if(root->right)bstToGst(root->right);
      if(root->val != 0)
      root->val = global = global + root->val;
      if(root->left)bstToGst(root->left);
      return root;
   }
};
main(){
   vector<int> v =
   {4,1,6,1,2,5,7,NULL,NULL,NULL,3,NULL,NULL,NULL,8};
   TreeNode *root = make_tree(v);
   Solution ob;
   tree_level_trav(ob.bstToGst(root));
}

入力

[4,1,6,1,2,5,7,null,null,null,3,null,null,null,8]

出力

[30, 36, 21, 37, 35, 26, 15, null, null, null, 33, null, null, null,
8]

計算量の評価

このアルゴリズムは木のすべてのノードを一度ずつ訪問するため、時間計算量は O(n)（n はノード数）です。また、再帰の深さは木の高さに依存するため、空間計算量は平衡な木の場合 O(log n)、最悪ケース（線形リスト状の木）では O(n) となります。