0-1ナップサック問題をPythonで解く方法：全探索と動的計画法の実装

この記事では、以下の問題文に対する解決策について学びます。

問題文 − n個のアイテムの重さと価値が与えられます。これらのアイテムを容量Wのバッグに詰め込み、バッグの最大容量を超えない範囲で、合計価値が最大になる組み合わせを見つけて返す必要があります。

それでは、以下の実装で解決策を確認してみましょう。

# 全探索（ブルートフォース）アプローチ

まずは再帰を使った素朴な全探索から見ていきます。各アイテムについて「入れる」か「入れない」かをすべて試し、得られる価値の最大値を求めます。

例

# バッグに格納できる最大価値を返す関数
def knapSack(W, wt, val, n):
    # 初期条件
    if n == 0 or W == 0:
        return 0
    # アイテムの重さが残り容量を超える場合は含めない
    if (wt[n-1] > W):
        return knapSack(W, wt, val, n-1)
    # n番目のアイテムを「含める場合」と「含めない場合」の大きい方を返す
    else:
        return max(val[n-1] + knapSack(W-wt[n-1], wt, val, n-1),
                   knapSack(W, wt, val, n-1))

# 上記の関数をテストする
val = [50,100,150,200]
wt = [8,16,32,40]
W = 64
n = len(val)
print(knapSack(W, wt, val, n))

出力

350

この全探索アプローチの計算量はO(2ⁿ)となり、アイテム数が増えると実行時間が指数関数的に増大するという課題があります。

# 動的計画法アプローチ

次に、動的計画法（DP）を用いた効率的な解法です。部分問題の結果を表（2次元配列）に記録しながらボトムアップ方式で計算することで、同じ計算の重複を避けられます。

例

# 動的計画法によるアプローチ
# バッグに格納できる最大価値を返す関数
def knapSack(W, wt, val, n):
    K = [[0 for x in range(W + 1)] for x in range(n + 1)]
    # ボトムアップ方式で表を作成
    for i in range(n + 1):
        for w in range(W + 1):
            if i == 0 or w == 0:
                K[i][w] = 0
            elif wt[i-1] <= w:
                K[i][w] = max(val[i-1] + K[i-1][w-wt[i-1]], K[i-1][w])
            else:
                K[i][w] = K[i-1][w]
    return K[n][W]

# メイン処理
val = [50,100,150,200]
wt = [8,16,32,40]
W = 64
n = len(val)
print(knapSack(W, wt, val, n))

出力

350

すべての変数はローカルスコープ内で宣言されており、その参照関係は上図の通りです。

動的計画法では、計算量がO(n×W)に抑えられるため、全探索と比べて大幅に高速化できます。ただし、その分O(n×W)サイズのメモリが必要になる点には注意しましょう。

まとめ

この記事では、0-1ナップサック問題を解くためのPythonプログラムとして、再帰による全探索アプローチと動的計画法アプローチの2種類を実装しました。小規模な入力なら全探索でも十分ですが、実用的な規模の問題では動的計画法が有効です。