バイナリ変数とは？定義・種類と非類似度（ジャッカード係数）の計算方法を解説

バイナリ変数（二値変数）とは、「0」か「1」という2つの状態のみを取りうる変数のことです。「0」はその属性が存在しないこと、「1」は存在することを意味します。例えば、患者を表す「喫煙者（smoker）」という変数において、1はその患者が喫煙していることを、0は喫煙していないことを示します。

ここで注意したいのは、バイナリ変数をあたかも間隔尺度（interval-scaled）の変数であるかのように扱うと、クラスタリングの結果が誤ったものになる可能性があるという点です。そのため、バイナリデータに適した手法を用いて非類似度を計算することが不可欠となります。

2×2分割表による非類似度の計算

バイナリデータから非類似度行列を求める代表的な方法が、分割表（コンティンジェンシー表）を用いるアプローチです。すべてのバイナリ変数が同程度の重みを持つと仮定できる場合、次のような2×2の分割表を作成できます。

• q：オブジェクトiとjの両方で1となる変数の数
• r：オブジェクトiでは1、オブジェクトjでは0となる変数の数
• s：オブジェクトiでは0、オブジェクトjでは1となる変数の数
• t：オブジェクトiとjの両方で0となる変数の数

変数の総数pは、p＝q＋r＋s＋t と表されます。

対称バイナリ変数と非対称バイナリ変数

対称バイナリ変数

バイナリ変数の2つの状態がどちらも同等の価値を持ち、同じ重みで扱える場合、その変数は「対称（symmetric）」であるといいます。つまり、どちらの結果を0、どちらの結果を1としてコーディングするかに優先順位はありません。対称バイナリ変数に基づく非類似度は、「対称バイナリ非類似度（symmetric binary dissimilarity）」と呼ばれます。

非対称バイナリ変数

一方、2つの状態の結果の重要度が等しくない場合、その変数は「非対称（asymmetric）」であるといいます。例えば、疾病検査における陽性・陰性の結果が典型例です。慣例上、より重要な結果（通常は最も稀に現れるもの）を1（例：HIV陽性）、もう一方を0（例：HIV陰性）としてコーディングします。

2つの非対称バイナリ変数においては、両者がともに1となる一致（正的一致／positive match）の方が、ともに0となる一致（負的一致／negative match）よりも重要視されます。そのため、このようなバイナリ変数は、まるで1つの状態しか持たないかのように扱われ、「単項的（monary）」であると表現されることがあります。

非対称バイナリ非類似度の計算式

このような変数に基づく非類似度は「非対称バイナリ非類似度（asymmetric binary dissimilarity）」と呼ばれます。計算では、負的一致の数tは重要でないとみなし、計算から除外します。非類似度d(i, j)は次の式で求められます。

d(i, j) ＝ (r ＋ s) ／ (q ＋ r ＋ s)

また、非類似度ではなく類似度の概念に基づいて、2つのバイナリ変数間の距離を評価することも可能です。例えば、オブジェクトiとjの間の非対称バイナリ類似度sim(i, j)は、次のように計算できます。

sim(i, j) ＝ q ／ (q ＋ r ＋ s) ＝ 1 − d(i, j)

この係数sim(i, j)は、「ジャッカード係数（Jaccard coefficient）」として広く知られています。