次元削減とは何ですか？

次元削減では、データのエンコードまたは変換を適用して、元のデータの削減または「圧縮」された表現を取得します。情報に障害が発生することなく、圧縮データから元のデータを再構築できる場合、データ削減はロスレスと呼ばれます。再構築されたデータが元のデータの近似値のみである場合、データ削減は不可逆と呼ばれます。

損失を減らすには、次の2つの方法があります-

• ウェーブレット変換 −離散ウェーブレット変換（DWT）は、データベクトルXに適用されると、ウェーブレット係数の数値的に異なるベクトルX’に変換する線形信号処理技術です。 2つのベクトルは同じ長さです。この手法をデータ削減に使用する場合、各タプルをn次元のデータベクトルと見なすことができます。つまり、𝑋=（x ₁ 、x ₂ 、…x _n ）n個のデータベース属性からタプルに対して行われたn個の測定値を示します。

DWTは、正弦と余弦を含む信号処理技術である離散フーリエ変換（DFT）とほぼ関連しています。一般に、DWTはより優れた非可逆圧縮を実現します。つまり、特定のデータベクトルのDWTとDFTに対して同じ数の係数が保持されている場合、DWTバージョンは元のデータのより正確な近似を提供します。したがって、同等の近似では、DWTはDFTよりも必要なスペースが少なくて済みます。

ウェーブレット変換は、データキューブを含む多次元データに使用できます。これは、最初に変換を最初の次元に適用し、次に2番目の次元に適用するというように行われます。関係する計算の複雑さは、キューブ内のセルの数に対して線形です。

ウェーブレット変換は、スパースまたはスキューされたデータおよび順序付けられた属性を持つデータに対して良好な結果をもたらします。ウェーブレットによる非可逆圧縮は、現在の商用標準であるJPEG圧縮よりも優れていると報告されています。ウェーブレット変換には、指紋画像の圧縮、コンピュータービジョン、時系列データの分析、データクリーニングなど、多くの実際のアプリケーションがあります。

• 主成分分析 −主成分分析は、Karhunen-LoeveまたはK-L法とも呼ばれます。データを表すのに最適なkn次元の直交ベクトルを検索できます。ここでk≤nです。元のデータははるかに小さなスペースに投影されるため、次元が削減されます。代替の小さな変数セットを作成することにより、属性の本質を組み合わせます。元のデータをこの小さなセットに投影できます。