次元削減とは？仕組みと代表的な2つの手法をわかりやすく解説

次元削減とは

次元削減（dimensionality reduction）とは、データに符号化や変換を施すことで、元のデータよりも小さい「圧縮された」表現を得るための手法です。大量のデータを扱う際、保存コストの削減や分析の効率化を目的として広く利用されています。

可逆圧縮と非可逆圧縮の違い

圧縮データから元のデータを情報の欠落なしに完全に復元できる場合、その削減方式は可逆（ロスレス）と呼ばれます。一方、復元されたデータが元のデータの近似にすぎない場合は、非可逆（ロッシー）と呼ばれます。非可逆圧縮は、多少の情報損失を許容する代わりに、高い圧縮率を実現できる点が特徴です。

非可逆削減の2つの主要手法

1. ウェーブレット変換

離散ウェーブレット変換（DWT）は線形の信号処理技術の一種で、データベクトル X に適用すると、数値的に異なるウェーブレット係数のベクトル X′ へと変換します。2つのベクトルはほぼ同じ長さになります。

この手法をデータ削減に用いる際は、各タプルを n 次元のデータベクトル、すなわち X = (x₁, x₂, …, xₙ) として捉えることができます。ここで n は、データベースの n 個の属性についてタプルごとに行われた測定値の数を表します。

DWTとDFTの関係

DWTは、正弦波と余弦波を用いる信号処理技術である離散フーリエ変換（DFT）と密接な関係があります。しかし一般的に、DWTのほうが優れた非可逆圧縮を実現します。同じデータベクトルに対してDWTとDFTで同じ数の係数を保持した場合でも、DWT版のほうが元のデータをより正確に近似できるのです。つまり、同等の精度の近似を得るには、DFTよりも少ない記憶領域で済むということになります。

ウェーブレット変換の特徴と応用

ウェーブレット変換は、データキューブを含む多次元データにも適用できます。処理の手順としては、まず第1次元に変換を適用し、続いて第2次元へ、というように順番に適用していきます。このときの計算量は、キューブ内のセル数に対して線形であるため、大規模データでも効率的に処理できます。

さらに、ウェーブレット変換はスパースなデータや分布に偏りのあるデータ、順序付き属性を持つデータに対しても良好な結果を示します。ウェーブレットによる非可逆圧縮は、現行の商用標準であるJPEG圧縮よりも優れているとの報告もあります。

実際の応用例としては、以下のような幅広い分野が挙げられます。

• 指紋画像の圧縮
• コンピュータビジョン
• 時系列データの解析
• データクレンジング

2. 主成分分析（PCA）

主成分分析は、カルーネン・レーヴェ（K-L）法とも呼ばれる統計的手法です。データを最もよく表現できる k 個の n 次元直交ベクトル（k ≤ n）を探索し、元のデータをこれらが張るはるかに小さな空間へ射影することで、次元削減を実現します。

PCAのポイントは、新しい小規模な変数群を作成することで、複数の属性が持つ本質的な情報を統合できる点にあります。元のデータをこの縮小された変数セットへ射影することで、重要な情報をできるだけ保持しながら、次元数を大幅に削減することが可能になります。

まとめ

次元削減は、大規模データの保管コストを抑え、分析効率を高めるうえで欠かせない技術です。可逆・非可逆のいずれを選ぶかは用途によりますが、特に非可逆圧縮においては「ウェーブレット変換」と「主成分分析（PCA）」が代表的な手法として広く活用されています。それぞれの特性を理解し、データの性質や目的に応じて適切な手法を選択することが重要です。