C/C++で放物線の頂点・焦点・準線を求めるプログラム

平面上の点の集合のうち、曲線上の任意の点が中心にある1つの定点（これを焦点と呼びます）から常に等しい距離を保つように形成される曲線を放物線といいます。

放物線の一般方程式は次のとおりです。

y = ax2 + bx + c

頂点とは、放物線が最も鋭く方向転換する点の座標のことです。また、係数 a は曲線の開き具合を決める重要な値となります。

焦点は、放物線上のすべての点から等距離にある点です。さらに、焦点と対になる概念として準線（directrix）と呼ばれる直線があり、放物線上の各点は焦点までの距離と準線までの距離が等しくなるという性質を持ちます。

この記事では、放物線の頂点・焦点・準線を求める方法を解説します。これらの値は数学的な公式から導くことができ、その公式をそのままプログラムに実装します。

入力:
a = 10,
b = 5,
c = 4
出力:
頂点: (-0.25, 3.375)
焦点: (-0.25, 3.4)
y-準線: -1036

解説

放物線の係数 a, b, c が与えられたとき、頂点・焦点・準線を求めるための数式は以下のとおりです。

頂点 = {(-b/2a) , (4ac−b²/4a)}

焦点 = {(-b/2a), (4ac−b²+1)/4a}

準線 = c − (b²+1)×4a

頂点の x 座標は −b/2a で表され、これは放物線の対称軸でもあります。焦点の x 座標は頂点と同じ値になり、y 座標は頂点より 1/4a だけ大きくなります。なお、これらの公式は軸が y 軸に平行な放物線（上または下に開く放物線）に適用されます。

サンプルコード

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
   float a = 10, b = 5, c = 4;
   cout << "頂点: (" << (-b / (2 * a)) << ", " << (((4 * a * c) - (b * b)) / (4 * a)) << ")\n";
   cout << "焦点: (" << (-b / (2 * a)) << ", " << (((4 * a * c) - (b * b) + 1) / (4 * a)) << ")\n";
   cout << "y-準線:" << c - ((b * b) + 1) * 4 * a;
}

このプログラムでは、係数 a, b, c を変数として定義し、上記の数式をそのまま計算式に置き換えて頂点・焦点・準線を出力しています。a, b, c の値を変更すれば、任意の放物線に対して同じ手順で計算できます。