【C++】点が楕円の内側・外側・境界上のどこにあるかを判定する方法

中心座標 (h, k)、長半径 a、短半径 b をもつ楕円が1つ与えられ、さらに任意の点 (x, y) が与えられたとします。このとき、その点が楕円の内側にあるのか、外側にあるのか、あるいは境界上にあるのかを判定する方法を解説します。

判定に使う数式

点の位置関係は、次の式に点の座標 (x, y) を代入して計算することで求められます。

$$\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}$$

この計算結果と 1 を比較することで、点の位置を以下のように分類できます。

• 結果が 1 未満の場合 → 点は楕円の内側
• 結果が 1 と等しい場合 → 点は楕円の境界上
• 結果が 1 より大きい場合 → 点は楕円の外側

C++での実装例

実際にC++でプログラムを実装してみましょう。なお、整数同士の除算で小数部分が切り捨てられるのを防ぐため、計算結果は double 型で扱うのが安全です。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double ellipseValue(int h, int k, int x, int y, int a, int b) {
    return pow((x - h), 2) / pow(a, 2) + pow((y - k), 2) / pow(b, 2);
}

int main() {
    int x = 2, y = 1, h = 0, k = 0, a = 4, b = 5;
    double res = ellipseValue(h, k, x, y, a, b);

    if (res > 1)
        cout << "Outside Ellipse";
    else if (res == 1)
        cout << "On the Ellipse";
    else
        cout << "Inside Ellipse";

    return 0;
}

実行結果

Inside Ellipse

コードの解説

この例では、中心が原点 (0, 0)、長半径 a = 4、短半径 b = 5 の楕円に対して、点 (2, 1) の位置を判定しています。

式に代入すると、(2 − 0)² / 4² + (1 − 0)² / 5² = 4/16 + 1/25 = 0.25 + 0.04 = 0.29 となり、結果は 1 未満です。したがって、この点は楕円の内側にあると判定され、「Inside Ellipse」が出力されます。

この手法は、当たり判定や図形処理など、点と楕円の位置関係を扱うさまざまな場面で応用できます。