C++で時針と分針のなす角がθとなる時刻を求める方法

問題の概要

角度θ(シータ)が与えられたとき、時計の時針と分針がちょうどその角度をなす時刻を「hh:mm」形式で求めることを考えます。例えば、角度が90°であれば、答えの一つとして「3:00」が挙げられます。

解き方のアプローチ

時計は12時間表示のため、時は12通り(0〜11)、分は60通り(0〜59)の組み合わせが存在します。つまり、調べるべき時刻は最大でも12×60=720通りです。そこで、すべての時刻の組み合わせを順番に調べ、各時刻における時針と分針のなす角を計算します。その角度が与えられたθと一致した時点で、その時刻を出力します。

角度の計算方法

時針と分針の角度は、それぞれ次の式で求められます。

• 時針の角度 = 0.5 × (時 × 60 + 分) … 時針は12時間で360°回転するため、1分あたり0.5°ずつ進みます。
• 分針の角度 = 6 × 分 … 分針は60分で360°回転するため、1分あたり6°ずつ進みます。

両者の差の絶対値を取った後、360°から引いた値と比較し、小さい方を採用します。これにより、時計回り・反時計回りのうち短い方の角度が得られます。

C++での実装例

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
float angleFromClockHand(int hour, int minute) {
    float hour_angle = 0.5 * (hour*60 + minute);
    float minute_angle = 6*minute;
    float angle = abs(hour_angle - minute_angle);
    angle = min(360-angle, angle);
    return angle;
}
void findTime(float theta) {
    for (int hour=0; hour<12; hour++) {
        for (int min=0; min<60; min++) {
            if (angleFromClockHand(hour, min)==theta) {
                cout << hour << ":"<< min;
                return;
            }
        }
    }
    cout << "Unable to find time";
}
int main() {
    float angle = 45.0;
    findTime(angle);
}

実行結果

4:30

この例では角度として45.0°を指定しているため、時針と分針が45°をなす最初の時刻として「4:30」が出力されます。4時30分の時点では、時針は0.5×(4×60+30)=135°の位置、分針は6×30=180°の位置にあり、その差がちょうど45°になるためです。

計算量と注意点

探索対象は最大720通りに限られるため、計算量はO(720)、つまり実質的に定数時間O(1)として扱えます。なお、浮動小数点数同士の比較は誤差の影響を受ける可能性があるため、実用上は許容誤差(イプシロン)を用いた比較に置き換えるとより堅牢になります。