C++で代替セグメントの角が与えられた場合の、弦と接線のなす角を求める方法

円が与えられている場合、弦と接線はある一点で交わります。ここでの目的は、代替セグメント（弦の反対側の領域）における角が既知であるとき、弦と接線のなす角を求めることです。

実は、この問題には美しい幾何学的性質が隠されています。「接弦の角定理」によれば、弦と接線のなす角は、その弦に対する反対側の円周角（代替セグメントの角）と必ず等しくなります。以下で、その証明の流れとプログラムの実装を見ていきましょう。

例

Input: z = 40
Output: 40 degrees
Input: z = 60
Output: 60 degrees

証明のアプローチ

• 角QPRを、代替セグメントにおける既知の角とします。

• 弦と接線のなす角＝角RQY＝a とします。

• 中心から接線に引いた直線は、接線と垂直に交わるため、

• 角CQR ＝ 90° − a となります。

• CQ ＝ CR ＝ 円の半径 であるため、

• 角CRQ ＝ 90° − a が成り立ちます。

• 次に、三角形CQRに着目すると、

  • 角CQR ＋ 角CRQ ＋ 角QCR ＝ 180°

  • 角QCR ＝ 180° − (90° − a) − (90° − a)

  • 角QCR ＝ 2a

• 円周角は、同じ弧に対する中心角の半分になるため、角QPR ＝ a となります。

• したがって、角QPR ＝ 角RQY という関係が導かれます。

実装の方針

以上の証明から、弦と接線のなす角は、与えられた代替セグメントの角と常に等しいことが分かります。つまり、入力された値をそのまま出力すればよいことになります。実際のコードは以下の通りです。

例（C++コード）

// 代替セグメントの角が与えられたときの
// 弦と接線のなす角を求めるC++プログラム
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void anglechordtang(int z1){
    cout<< "The angle between tangent"
    <<" and the chord is "
    << z1 <<" degrees" << endl;
}
// Driver code
int main(){
    int z1 = 40;
    anglechordtang(z1);
    return 0;
}

出力

The angle between tangent and the chord is 40 degrees

まとめ

このように、弦と接線のなす角は「接弦の角定理」により、代替セグメントの角と等しくなります。プログラム上の処理は非常にシンプルですが、その背後には中心角と円周角の関係という、円の幾何学における重要な性質が支えとなっています。