C++で2D平面上の点から直線への垂線の足を求める方法

2次元平面上に点 P と直線の方程式が与えられているとき、点 P からその直線へ下ろした垂線の足（交点）の座標を求めるのが本記事のテーマです。幾何学やコンピュータグラフィックスの分野でよく使われる基本的な計算なので、数式的な背景と合わせてC++での実装方法を解説します。

数学的な背景

直線の方程式は ax + by + c = 0 と表されます。点 P を通ってこの直線に垂直な直線の方程式は、ay − bx + d = 0 の形になります。ここで、点 P の座標を (x₁, y₁)、垂線の足となる点を Q(x₂, y₂) とします。

点 P の座標を垂直な直線の方程式に代入すると、ay₁ − bx₁ + d = 0 となるため、d = bx₁ − ay₁ が導かれます。

さらに、Q は「与えられた直線」と「点 P を通る垂線」の交点にあたるため、次の2つの連立方程式を解けばよいことになります。

ax + by + c = 0 および ay − bx + (bx₁ − ay₁) = 0

a、b、c、d がすべて既知であれば、次の公式を使って垂線の足の座標を直接計算できます。

$$\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}=\frac{-(ax_{1}+by_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}}$$

C++での実装例

それでは、上記の公式をC++のコードに実装してみましょう。

#include<iostream>
using namespace std;

// 点(x1, y1)から直線 ax + by + c = 0 へ下ろした垂線の足を求める
void getFootCoordinate(double a, double b, double c, double x1, double y1) {
    // 公式の共通の値を計算
    double p = -1 * (a * x1 + b * y1 + c) / (a * a + b * b);
    // 垂線の足の座標を算出
    double x = p * a + x1;
    double y = p * b + y1;
    cout << "(" << x << ", " << y << ")";
}

int main() {
    // 直線: 0・x + 1・y - 2 = 0（つまり y = 2）
    double a = 0.0;
    double b = 1.0;
    double c = -2;
    // 点 P(3, 3)
    double x1 = 3.0;
    double y1 = 3.0;
    cout << "The coordinate is: ";
    getFootCoordinate(a, b, c, x1, y1);
}

出力結果

The coordinate is: (3, 2)

コードの解説

関数 getFootCoordinate では、まず p = −(a·x₁ + b·y₁ + c) / (a² + b²) を計算しています。これは先ほどの公式における共通の値に相当します。その後、x = p·a + x₁、y = p·b + y₁ とすることで、垂線の足の座標を簡単に求められます。

このサンプルでは、直線を y − 2 = 0（水平線 y = 2）、点を P(3, 3) としています。点 P から直線へ垂直に下ろすと、x座標は変わらず y座標が 2 になるため、答えは (3, 2) となり、プログラムの出力と一致します。

このアルゴリズムの計算量は O(1) であり、係数 a、b が両方ゼロにならない限り、任意の直線と点の組み合わせに対して正しく動作します。幾何計算ライブラリや当たり判定など、さまざまな場面で応用できる便利な手法です。