【初心者向け】Pythonの複素数（complex型）の使い方を徹底解説！作成方法・四則演算・cmathモジュールまで

複素数は、実数から生成される数値です。Pythonでは、直接代入文を使うか、complex()関数を使うことで、簡単に複素数を作成できます。

複素数は、2つの実数（実部と虚部）を扱う場面で主に活用されます。例えば、電圧（V）と電流（C）で定義される電気回路の解析や、幾何学、科学計算、微積分などの分野で広く利用されています。

構文

complex([real[, imag]])

Pythonでシンプルな複素数を作成する

まずは、最も基本的な複素数の作成方法を見てみましょう。リテラルで直接記述する方法と、complex()関数を使う方法の2通りがあります。

>>> c = 3 + 6j
>>> print(type(c))
<class 'complex'>
>>> print(c)
(3+6j)
>>>
>>> c1 = complex(3, 6)
>>> print(type(c1))
<class 'complex'>
>>> print(c1)
(3+6j)

実行結果からわかるように、Pythonの複素数はcomplex型として扱われます。それぞれの複素数は、1つの実部と1つの虚部で構成されています。

複素数の属性と関数

複素数オブジェクトには、実部を取得する.real、虚部を取得する.imag、共役複素数を返す.conjugate()といった便利な属性やメソッドが用意されています。

>>> # 複素数
>>> c = (3 + 6j)
>>>
>>> # 実部を取得
>>> print('Complex Number: Real Part is = ', c.real)
Complex Number: Real Part is = 3.0
>>>
>>> # 虚部を取得
>>> print('Complex Number: Imaginary Part is = ', c.imag)
Complex Number: Imaginary Part is = 6.0
>>>
>>> # 共役複素数を取得
>>> print('Complex Number: conjugate Part = ', c.conjugate())
Complex Number: conjugate Part = (3-6j)

複素数の数学的計算

複素数同士は、通常の数値と同じように四則演算を行うことができます。

>>> # 1つ目の複素数
>>> c1 = 3 + 6j
>>> # 2つ目の複素数
>>> c2 = 6 + 15j
>>>
>>> # 加算
>>> print("Addition of two complex number =", c1 + c2)
Addition of two complex number = (9+21j)
>>>
>>> # 減算
>>> print("Subtraction of two complex number =", c1 - c2)
Subtraction of two complex number = (-3-9j)
>>>
>>> # 乗算
>>> print("Multiplication of two complex number =", c1 * c2)
Multiplication of two complex number = (-72+81j)
>>>
>>> # 除算
>>> print("Division of two complex number =", c1 / c2)
Division of two complex number = (0.4137931034482759-0.03448275862068964j)

ただし、複素数には大小関係という概念がないため、<、>、<=、>=といった比較演算子はサポートされていません。使用するとTypeErrorが発生します。

>>> c2 <= c2
Traceback (most recent call last):
File "<pyshell#40>", line 1, in <module>
c2 <= c2
TypeError: '<=' not supported between instances of 'complex' and 'complex'

Pythonのcmathモジュールとは

Pythonのcmathモジュールは、複素数に対する数学関数へのアクセスを提供します。ここでは、cmathモジュールを使った複素数の重要な機能をいくつか紹介します。

複素数の偏角（フェーズ）を求める

複素数の偏角（位相）とは、実軸と、虚部を表すベクトルとの間の角度のことです。

mathモジュールおよびcmathモジュールが返す偏角の単位はラジアンです。度数法に変換したい場合は、numpy.degrees()関数を使用します。

import cmath, math, numpy
c = 4 + 4j
# 偏角を取得
phase = cmath.phase(c)
print('4+ 4j Phase =', phase)
print('Phase in Degrees =', numpy.degrees(phase))
print('-4-4j Phase =', cmath.phase(-4-4j), 'radians. Degrees =', numpy.degrees(cmath.phase(-4-4j)))
# math.atan2()関数でも偏角を求められる
print('Complex number phase using math.atan2() =', math.atan2(2, 1))

実行結果

4+ 4j Phase = 0.7853981633974483
Phase in Degrees = 45.0
-4-4j Phase = -2.356194490192345 radians. Degrees = -135.0
Complex number phase using math.atan2() = 1.1071487177940904

cmathモジュールの定数

cmathモジュールには、複素数計算で使用できる定数がいくつか用意されています。

import cmath
print('π =', cmath.pi)
print('e =', cmath.e)
print('tau =', cmath.tau)
print('Positive infinity =', cmath.inf)
print('Positive Complex infinity =', cmath.infj)
print('NaN =', cmath.nan)
print('NaN Complex =', cmath.nanj)

実行結果

π = 3.141592653589793
e = 2.718281828459045
tau = 6.283185307179586
Positive infinity = inf
Positive Complex infinity = infj
NaN = nan
NaN Complex = nanj

冪乗と対数関数

cmathモジュールは、対数演算や冪乗演算に便利な関数も提供しています。

import cmath
c = 1 + 2j
print('e^c =', cmath.exp(c))
print('log2(c) =', cmath.log(c, 2))
print('log10(c) =', cmath.log10(c))
print('sqrt(c) =', cmath.sqrt(c))

実行結果

e^c = (-1.1312043837568135+2.4717266720048188j)
log2(c) = (1.1609640474436813+1.5972779646881088j)
log10(c) = (0.3494850021680094+0.480828578784234j)
sqrt(c) = (1.272019649514069+0.7861513777574233j)

三角関数

import cmath
c = 2 + 4j
print('arc sine value:\n ', cmath.asin(c))
print('arc cosine value :\n', cmath.acos(c))
print('arc tangent value of complex number c :\n', cmath.atan(c))
print('sine value:\n', cmath.sin(c))
print('cosine value:\n', cmath.cos(c))
print('tangent value:\n', cmath.tan(c))

実行結果

arc sine value:
(0.4538702099631225+2.198573027920936j)
arc cosine value :
(1.1169261168317741-2.198573027920936j)
arc tangent value of complex number c :
(1.4670482135772953+0.20058661813123432j)
sine value:
(24.83130584894638-11.356612711218174j)
cosine value:
(-11.36423470640106-24.814651485634187j)
tangent value:
(-0.0005079806234700387+1.0004385132020523j)

双曲線関数

import cmath
c = 2 + 4j
print('Inverse hyperbolic sine value: \n', cmath.asinh(c))
print('Inverse hyperbolic cosine value: \n', cmath.acosh(c))
print('Inverse hyperbolic tangent value: \n', cmath.atanh(c))
print('Hyperbolic sine value: \n', cmath.sinh(c))
print('Hyperbolic cosine value: \n', cmath.cosh(c))
print('Hyperbolic tangent value: \n', cmath.tanh(c))

実行結果

Inverse hyperbolic sine value:
(2.183585216564564+1.096921548830143j)
Inverse hyperbolic cosine value:
(2.198573027920936+1.1169261168317741j)
Inverse hyperbolic tangent value:
(0.09641562020299617+1.3715351039616865j)
Hyperbolic sine value:
(-2.370674169352002-2.8472390868488278j)
Hyperbolic cosine value:
(-2.4591352139173837-2.744817006792154j)
Hyperbolic tangent value:
(1.0046823121902348+0.03642336924740368j)

まとめ

Pythonでは、リテラルやcomplex()関数を使って手軽に複素数を扱えます。実部・虚部の取得や共役複素数の計算はもちろん、cmathモジュールを活用すれば、偏角の算出や三角関数・双曲線関数など、高度な数学処理も簡単に実装できます。科学技術計算や信号処理などで複素数が必要になった際は、ぜひ本記事の内容を参考にしてください。