Python – scipy.linalg.expm()で行列指数関数を計算する方法

scipy.linalgパッケージに含まれるexpm()関数は、Padé近似を用いて行列指数関数（matrix exponential）を計算するための関数です。Padé近似とは、指定された次数の有理関数によって関数を「最も良く」近似する手法であり、この手法では近似式の冪級数が、近似対象となる関数の冪級数と一致するように構成されます。

なお、行列指数関数とは e^A = Σ A^k / k! として定義される行列演算で、線形微分方程式の求解や制御理論など、さまざまな分野で利用されます。

構文

scipy.linalg.expm(x)

ここで、x は指数関数を適用する対象となる入力行列です。

例1

まず、以下の例を見てみましょう。

# 必要なライブラリをインポート
from scipy import linalg
import numpy as np

# 入力配列を定義
e = np.array([[100 , 5] , [78 , 36]])
print("Input Array :\n", e)

# 行列の指数関数を計算
m = linalg.expm(e)

# 計算結果を表示
print("Exponential of e: \n", m)

出力結果

上記のプログラムを実行すると、次のような出力が得られます。

Input Array :
 [[100 5]
 [ 78 36]]
Exponential of e:
 [[6.74928440e+45 4.84840154e+44]
 [7.56350640e+45 5.43330432e+44]]

このように、要素の値が大きい行列に対してexpm()を適用すると、非常に大きな数値を持つ行列が返されることがわかります。

例2

続いて、別の例を見てみましょう。

# 必要なライブラリをインポート
from scipy import linalg
import numpy as np

# 入力配列を定義（3×3のゼロ行列）
k = np.zeros((3, 3))
print("Input Array :\n", k)

# 行列の指数関数を計算
n = linalg.expm(k)

# 計算結果を表示
print("Exponential of k: \n", n)

出力結果

このプログラムを実行すると、次のような出力が得られます。

Input Array :
 [[0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]]
Exponential of k:
 [[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

すべての要素が0の行列に対してexpm()を適用すると、単位行列が返されます。これは数学的に e^0 = I（零行列の指数は単位行列）という性質と一致しており、計算が正しく行われていることを確認できます。