【Java】行列のトレースとノルムを求めるプログラムの作成方法

本記事では、Javaを使って与えられた行列の「トレース」と「ノルム」を求める方法について詳しく解説します。

まず、それぞれの用語を確認しておきましょう。ノルムとは、行列内のすべての要素を2乗し、その合計に対して平方根を取った値のことです。一方、トレースとは、主対角成分（行列の左上から右下に向かう対角線上にある要素）の総和を指します。

それでは、具体的な例を見ていきましょう。

入力：

定義された行列：
2 3 4
5 2 3
4 6 9

期待される出力：

トレースの値：13.0
ノルムの値：14.142135623730951

アルゴリズム

Step 1 - 開始
Step 2 - 整数型の2次元配列 input_matrix を宣言する
Step 3 - 行列の各要素の値を定義する
Step 4 - トレースの計算：2重のforループで行列を走査し、行番号と列番号が一致する対角成分のみを加算して保持する
Step 5 - ノルムの計算：2重のforループですべての要素の2乗和を求め、その平方根を計算して保持する
Step 6 - 結果を表示する
Step 7 - 終了

例1：すべての処理をmainメソッドにまとめる場合

この例では、行列の表示からトレース・ノルムの計算まで、すべての処理をmainメソッド内に直接記述しています。

public class NormalAndTrace {
    public static void main(String args[]) {
        int[][] input_matrix = {
            {2, 3, 4},
            {5, 2, 3},
            {4, 6, 9}
        };
        int i, j, matrix_size = 3;
        double trace = 0, square = 0, normal = 0;
        System.out.println("The matrix is defined as: ");
        for(i = 0; i < matrix_size; i++) {
            for(j = 0; j < matrix_size; j++)
            System.out.print(input_matrix[i][j]+" ");
            System.out.println(" ");
        }
        System.out.println("\nThe Trace value of the matrix is ");
        for(i = 0; i < matrix_size; i++) {
            for(j = 0; j < matrix_size; j++) {
                if(i == j) {
                    trace = trace + (input_matrix[i][j]);
                }
            }
        }
        System.out.println(trace);
        System.out.println("\nThe Normal value of the matrix is ");
        for(i = 0; i < matrix_size; i++) {
            for(j = 0; j < matrix_size; j++) {
                square = square + (input_matrix[i][j])*(input_matrix[i][j]);
            }
        }
        normal = Math.sqrt(square);
        System.out.println(normal);
    }
}

出力

The matrix is defined as:
2 3 4
5 2 3
4 6 9

The Trace value of the matrix is
13.0

The Normal value of the matrix is
14.142135623730951

例2：オブジェクト指向スタイルでメソッドに分割する場合

次の例では、トレースとノルムの計算処理を独立したメソッドとしてカプセル化し、オブジェクト指向プログラミングの考え方に沿って記述しています。このように分割することで、コードの再利用性と可読性が向上します。

public class NormalAndTrace {
    static int matrix_size = 3;
    static void normal_trace(int input_matrix[][]){
        int i, j;
        double trace = 0, square = 0, normal = 0;
        System.out.println("\nThe Trace value of the matrix is ");
        for(i = 0; i < matrix_size; i++) {
            for(j = 0; j < matrix_size; j++) {
                if(i == j) {
                    trace = trace + (input_matrix[i][j]);
                }
            }
        }
        System.out.println(trace);
        System.out.println("\nThe Normal value of the matrix is ");
        for(i = 0; i < matrix_size; i++) {
            for(j = 0; j < matrix_size; j++) {
                square = square + (input_matrix[i][j])*(input_matrix[i][j]);
            }
        }
        normal = Math.sqrt(square);
        System.out.println(normal);
    }
    public static void main(String args[]) {
        int i, j;
        int[][] input_matrix = { {2, 3, 4},
            {5, 2, 3},
            {4, 6, 9}
        };
        System.out.println("The matrix is defined as: ");
        for(i = 0; i < matrix_size; i++) {
            for(j = 0; j < matrix_size; j++)
            System.out.print(input_matrix[i][j]+" ");
            System.out.println(" ");
        }
        normal_trace(input_matrix);
    }
}

出力

The matrix is defined as:
2 3 4
5 2 3
4 6 9

The Trace value of the matrix is
13.0

The Normal value of the matrix is
14.142135623730951

まとめ

どちらの実装でも、時間計算量はO(n²)となり、行列のサイズに比例して処理時間が増加します。なお、ここで求めたノルムは線形代数におけるフロベニウスノルムと呼ばれるもので、行列の「大きさ」を表す指標として機械学習や数値計算の分野で広く利用されています。また、トレースは固有値の総和と一致するという重要な性質を持つため、線形代数のさまざまな場面で活用されています。