全ペア最短経路

すべてのペアの最短経路アルゴリズムは、Floyd-Warshallアルゴリズムとも呼ばれ、特定の重み付きグラフからすべてのペアの最短経路問題を見つけるために使用されます。このアルゴリズムの結果として、グラフ内の任意のノードから他のすべてのノードまでの最小距離を表す行列が生成されます。

最初、出力行列はグラフの指定されたコスト行列と同じです。その後、出力行列はすべての頂点kを中間頂点として更新されます。

このアルゴリズムの時間計算量はO（V3）です。ここで、Vはグラフ内の頂点の数です。

入力-グラフのコストマトリックス。

0 3 6 ∞ ∞ ∞ ∞
3 0 2 1 ∞ ∞ ∞
6 2 0 1 4 2 ∞
∞ 1 1 0 2 ∞ 4
∞ ∞ 4 2 0 2 1
∞ ∞ 2 ∞ 2 0 1
∞ ∞ ∞ 4 1 1 0

出力-すべてのペアの最短経路の行列。

0 3 4 5 6 7 7
3 0 2 1 3 4 4
4 2 0 1 3 2 3
5 1 1 0 2 3 3
6 3 3 2 0 2 1
7 4 2 3 2 0 1
7 4 3 3 1 1 0

アルゴリズム

floydWarshal（コスト）

入力 −与えられたグラフのコストマトリックス。

出力 −任意の頂点から任意の頂点への最短経路の行列。

Begin
   for k := 0 to n, do
      for i := 0 to n, do
         for j := 0 to n, do
            if cost[i,k] + cost[k,j] < cost[i,j], then
               cost[i,j] := cost[i,k] + cost[k,j]
            done
         done
      done
      display the current cost matrix
End

例

#include<iostream>
#include<iomanip>
#define NODE 7
#define INF 999
using namespace std;
//Cost matrix of the graph
int costMat[NODE][NODE] = {
   {0, 3, 6, INF, INF, INF, INF},
   {3, 0, 2, 1, INF, INF, INF},
   {6, 2, 0, 1, 4, 2, INF},
   {INF, 1, 1, 0, 2, INF, 4},
   {INF, INF, 4, 2, 0, 2, 1},
   {INF, INF, 2, INF, 2, 0, 1},
   {INF, INF, INF, 4, 1, 1, 0}
};
void floydWarshal(){
   int cost[NODE][NODE]; //defind to store shortest distance from any node to any node
   for(int i = 0; i<NODE; i++)
      for(int j = 0; j<NODE; j++)
         cost[i][j] = costMat[i][j]; //copy costMatrix to new matrix
         for(int k = 0; k<NODE; k++){
            for(int i = 0; i<NODE; i++)
               for(int j = 0; j<NODE; j++)
                  if(cost[i][k]+cost[k][j] < cost[i][j])
                     cost[i][j] = cost[i][k]+cost[k][j];
   }
   cout << "The matrix:" << endl;
   for(int i = 0; i<NODE; i++){
      for(int j = 0; j<NODE; j++)
         cout << setw(3) << cost[i][j];
      cout << endl;
   }
}
int main(){
   floydWarshal();
}

出力

The matrix:
0 3 5 4 6 7 7
3 0 2 1 3 4 4
5 2 0 1 3 2 3
4 1 1 0 2 3 3
6 3 3 2 0 2 1
7 4 2 3 2 0 1
7 4 3 3 1 1 0