バビロニア法による平方根の求め方【C++実装付きで解説】

バビロニア法（Babylonian method）は、非線形方程式を解くための数値計算法であるニュートン・ラプソン法を基礎とする、平方根を求めるための古典的なアルゴリズムです。古代バビロンで使われていた計算手法に由来することから、この名前が付けられています。

アルゴリズムの基本的な考え方

この方法のアイデアは非常にシンプルです。まず任意の初期値 x（対象となる数値そのもの）と y = 1 を用意します。次に、x と y の平均値を取ることで、平方根のより良い近似値を得ます。その後、y の値を「元の数値 ÷ x」で更新します。この処理を、x と y の相対誤差が十分に小さくなるまで繰り返すことで、高精度な平方根が求まります。

入力と出力

入力:
数値: 65
出力:
65の平方根は: 8.06226

アルゴリズムの手順

sqRoot(number)

入力: 実数の数値。

出力: 与えられた数値の平方根。

Begin
    x := number
    y := 1
    precision := 0.000001
    while relative error of x and y > precision, do
        x := (x+y) / 2
        y := number / x
    done
    return x
End

C++での実装例

以下は、バビロニア法をC++で実装したサンプルコードです。誤差の判定には abs(x - y)/abs(x)（相対誤差）を使用し、精度0.000001に達した時点で計算を終了します。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

float sqRoot(float number) {
    float x = number, y = 1;              // 初期値として number と 1 を設定
    float precision = 0.000001;           // 結果は小数点以下6桁まで正確

    while(abs(x - y)/abs(x) > precision) {
        x = (x + y)/2;                    // x と y の平均で近似値を更新
        y = number/x;                     // y を number / x で更新
    }
    return x;
}

int main() {
    int n;
    cout << "Enter Number to find square root: "; cin >> n;
    cout << "The square root of " << n <<" is: " << sqRoot(n);
}

実行結果

Enter Number to find square root: 65
The square root of 65 is: 8.06226

このように、バビロニア法は反復回数ごとに近似精度が急速に向上するため、効率的かつ簡単に平方根を計算できる優れた手法です。標準ライブラリの sqrt() 関数を使わずに平方根を実装したい場合や、数値計算の基礎を学びたい場合にぜひ参考にしてください。