C言語で学ぶ超完全数（スーパーパーフェクト数）の判定方法

超完全数とは？

「超完全数（スーパーパーフェクト数）」とは、完全数の概念を一般化した数論上の概念です。1969年に数学者のD・スリヤナラヤナ（D Suryanarayana）によって発見されました。超完全数は、次の式を満たす自然数として定義されます。

sig(sig(n)) = 2n

ここで sig(n) は、ある整数の約数の総和を求める関数で、「約数和関数」と呼ばれます。つまり、約数の総和を2段階で計算した結果が元の数の2倍になるとき、その数を超完全数と呼びます。

具体例1：16は超完全数

N = 16 が超完全数かどうかを、約数の総和を使って確認してみましょう。

sig(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31（16の約数は 1, 2, 4, 8, 16）
sig(31) = 1 + 31 = 32（31は素数のため約数は2つだけ）
2 × 16 = 32 = sig(sig(16))

この計算結果から、sig(sig(16)) が 2×16 と一致しているため、16は超完全数であることがわかります。

具体例2：6は超完全数ではない

次に、超完全数ではない例として n = 6 の場合を見てみます。

sig(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12
sig(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28
6 × 2 = 12 ≠ 28

sig(sig(6)) = 28 は 2×6 = 12 と一致しないため、6は超完全数ではありません。

C言語による実装例

以下は、与えられた数が超完全数かどうかを判定するC言語のサンプルプログラムです。約数の総和を効率よく求めるため、√n までループを回して約数をペアごとに加算する手法を採用しています。

#include<stdio.h>
// 数の約数の総和を求める関数
int divisorsum(int n){
    int sum = 0; // 総和を初期化
    for (int i = 1; i * i <= n; ++i){
        if (n % i == 0) { // 約数を見つけたら総和に加算
            if (i == (n / i))
                sum += i;
            else
                sum += (i + n / i);
        }
    }
    return sum;
}
int main() {
    int n = 16;
    int n1 = divisorsum(n);
    if (2 * n == divisorsum(n1)){
        printf("数 %d は超完全数です\n", n);
    } else {
        printf("数 %d は超完全数ではありません\n", n);
    }
    return 0;
}

実行結果

数 16 は超完全数です

補足：既知の超完全数の性質

超完全数としては 2, 4, 16, 64, 4096, 65536 … などが知られており、これらはすべてメルセンヌ素数に関連する2の累乗という興味深い性質を持っています。本記事のプログラムを応用すれば、任意の範囲から超完全数を探索することも可能です。