C++で中点の座標を使って長方形の4つの頂点を求める方法

問題の概要

長方形 ABCD があり、その中点 P と Q の座標、および長方形の辺の長さ L のみが分かっているとします。

この課題の目的は、P と Q の座標および辺の長さ L を使って、頂点 A、B、C、D の座標を求めることです。例えば、P が (1, 0)、Q が (1, 2)、L が 2 の場合、A、B、C、D はそれぞれ (0, 0)、(0, 2)、(2, 2)、(2, 0) となります。

考えられる3つの場合

P と Q の位置関係によって、次の3つの場合が考えられます。

• 長方形が水平な場合:AD と BC が X 軸に平行
• 長方形が垂直な場合:AD と BC が Y 軸に平行
• 長方形が軸に対してある角度で傾いている場合

傾いた長方形の場合の解法

3番目の場合は、P と Q の座標から傾きを求める必要があります。辺 AD の傾きが求まれば、AD を通る直線の方程式が導け、さらに距離の公式を用いて各頂点の座標を計算できます。

$$Slope of AD,m=\frac{px-qx}{py-qy}$$ $$Displacement\:along\:x\:axis, dx=\frac{L}{2\sqrt{1+m^{2}}}$$ $$Displacement\:along\:y\:axis, dy=\frac{mL}{2\sqrt{1+m^{2}}}$$

つまり、まず P と Q の座標差から傾き m を算出し、その傾きを使って x 軸方向の変位 dx と y 軸方向の変位 dy を求めます。あとは中点 P、Q からそれぞれ dx と dy を足し引きすることで、4つの頂点の座標が得られます。

C++での実装例

以下のコードでは、P と Q の x 座標が一致する場合(垂直)、y 座標が一致する場合(水平)、それ以外の場合(傾いた長方形)の3パターンに分けて処理を行っています。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
class Point {
   public:
      float x, y;
      Point(float a = 0.0f, float b = 0.0f) {
      x = a, y = b;
  }
};
void printCorners(Point p, Point q, float l) {
   Point a, b, c, d;
   if (p.x == q.x) {
      a.x = p.x - (l/2.0);
      d.x = p.x + (l/2.0);
      a.y = d.y = p.y;
      b.x = q.x - (l/2.0);
      c.x = q.x + (l/2.0);
      b.y = c.y = q.y;
   }else if (p.y == q.y) {
      a.y = p.y - (l/2.0);
      d.y = p.y + (l/2.0);
      a.x = d.x = p.x;
      b.y = q.y - (l/2.0);
      c.y = q.y + (l/2.0);
      b.x = c.x = q.x;
   }else{
      float m = (p.x-q.x)/float(q.y-p.y);
      float dx = (l /sqrt(1+(m*m))) *0.5 ;
      float dy = m*dx;
      a.x = p.x - dx;
      a.y = p.y - dy;
      d.x = p.x + dx;
      d.y = p.y + dy;
      b.x = q.x - dx;
      b.y = q.y - dy;
      c.x = q.x + dx;
      c.y = q.y + dy;
   }
   cout << "A (" << a.x << ", " << a.y << ")\n"
   << "B (" << b.x << ", " << b.y << ")\n"
   << "C (" << c.x << ", " << c.y << ")\n"
   << "D (" << d.x << ", " << d.y << ")\n";
}
int main() {
   Point p(1, 1), q(-1, -1);
   printCorners(p, q, 2*sqrt(2));
}

実行結果

A (0, 2)
B (-2, 0)
C (0, -2)
D (2, 0)

この例では、中点 P (1, 1) と Q (-1, -1)、辺の長さ 2√2 を与えており、傾いた長方形の場合の計算が正しく行われていることが分かります。この手法は、コンピュータグラフィックスや幾何学計算など、座標から図形を復元する必要がある場面で役立ちます。