C / C ++の2-3ツリー（検索と挿入）？

2-3ツリーは、ツリーデータ構造として定義され、子を持つすべてのノード（内部ノード）には、2つの子（2ノード）と1つのデータ要素、または3つの子（3ノード）と2つのデータがあります。要素。

定義

1つのデータ要素と2つの子がある場合、内部ノードは2ノードと呼ばれます。

2つのデータ要素と3つの子がある場合、内部ノードは3ノードと呼ばれます。

次のステートメントのいずれかが満たされる場合に限り、Tは2-3ツリーと呼ばれます-

• Tは空または空です。つまり、Tにはノードが含まれていません。

• Tは、データ要素aを備えた2ノードです。 Tが子Lと右子Rを残した場合、次のように結論付けます

• LとRは、同じ高さの空でない2〜3本の木として扱われます。

• aはLの各要素よりも高いです。および

• aはRの各データ要素以下です。

• Tは、データ要素aとbを持つ3ノードであり、aはb未満です。 Tが子L、中間の子M、および右の子Rを残した場合、結論を出します

• L、M、およびRは、同じ高さの空でない2〜3本の木として扱われます。

• aは、Lの各データ要素よりも高く、Mの各データ要素以下です。および

• bは、Mの各データ要素よりも高く、Rの各データ要素以下です。

プロパティ

• すべての内部ノードは、2ノードまたは3ノードとして扱われます。

• すべての葉は同じレベルにあります。

• すべてのデータは、並べ替えられた順序で維持または保持されます。

操作

検索

2-3ツリーでアイテムを検索することは、バイナリ検索ツリーでアイテムを検索することと同じです。各ノードのデータ要素は順序付けられたものとして扱われるため、検索機能は正しいサブツリーに転送され、最終的にはアイテムで構成される正しいノードに転送されます。

• Tを2〜3ツリーとして扱い、dを検索するデータ要素とします。 Tが空の場合、dはTに含まれておらず、実行されます。

• rをTのルートとして扱います。

• rを葉とします。 dがrにない場合、結果としてdはTにありません。それ以外の場合、dはTにあります。特に、dはリーフノードで見つけることができます。これ以上の手順は必要なく、実行されます。

• rが左の子Lと右の子Rを持つ2ノードとして扱われると仮定します。eをrのデータ要素として扱うとします。

3つのケースがあります-

• dがeと等しい場合、Tでdが見つかり、実行されます。

• dがeより小さい場合は、TをLに設定します。これは定義上2-3ツリーであり、手順2に戻ります。

• dがeより大きい場合は、TをRに設定し、手順2に戻ります。

• rを、左の子L、中央の子M、および右の子Rを持つ3ノードとします。aとbをrの2つのデータ要素として扱います。ここで、a

  • dがaまたはbに等しい場合、dはTにあり、実行されます。

  • dがaより小さい場合は、TをLに設定し、手順2に戻ります。

  • aがd未満で、dがb未満の場合は、TをMに設定して、手順2に戻ります。

  • dがbより大きい場合は、TをRに設定し、手順2に戻ります。

挿入

挿入は、キーの適切な場所を検索し、そこに追加または追加することによって実行されます。ノードが4ノードになると、ノードは2つの2ノードに分割され、真ん中のキーが親に移動します。その後、親は4ノードになる可能性があります。その場合、親も分割され、キーを自身の親に伝播します。このプロセスは、2ノードで分割する必要のない親に到達するまで、またはルートに到達するまで繰り返されます。ルートに到達すると、伝播された要素を実装して、2ノードである新しいルートを作成します。 。このアルゴリズムの助けを借りて、実行する操作の数はツリーの高さに比例します。したがって、ツリーは完全にバランスが取れているため、対数になります。このプロセスにより、結果が2〜3の木として扱われるようになります。特に、すべての葉が同じ深さに残ります。

次の図は、このプロセスの考えられるケースを説明または示しています。

考えられる3つのケースの2〜3ツリーへの数値の挿入。