ソート済み連結リストをC++で高さ平衡な二分探索木(BST)に変換する方法

問題の概要

昇順にソートされた単方向連結リストが与えられたとき、それを高さ平衡な二分探索木(BST)に変換することを考えます。例えば、リストが [-10, -3, 0, 5, 9] の場合、生成される木は次のようになります。

アルゴリズムのポイント

この問題を効率よく解く鍵は、リストの中央ノードを見つけて、それを木のルートにすることです。中央ノードより前の部分リストからは左部分木を、後ろの部分リストからは右部分木を再帰的に構築します。中央ノードの探索には、2つずつ進む高速ポインタ(fast)と1つずつ進む低速ポインタ(slow)を組み合わせる手法が便利です。

手順

• リストが空の場合はNULLを返します。

• リストの先頭ノードを引数に取る再帰メソッド sortedListToBST() を定義します。

• x := リストaにおける中間ノードの直前ノードのアドレス

• mid := 中間ノードそのもの

• midの値を用いて新しいノードを作成します。

• nextStart := midノードの次のノード

• midのnextをNULLに設定します。

• nodeのright := sortedListToBST(nextStart)

• xがNULLでない場合は、xのnextをNULLにしたうえで、nodeのleft := sortedListToBST(a)

• nodeを返します。

C++による実装例

理解を深めるために、以下の実装を見てみましょう。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
class ListNode{
   public:
   int val;
   ListNode *next;
   ListNode(int data){
      val = data;
      next = NULL;
   }
};
ListNode *make_list(vector<int> v){
   ListNode *head = new ListNode(v[0]);
   for(int i = 1; i<v.size(); i++){
      ListNode *ptr = head;
      while(ptr->next != NULL){
         ptr = ptr->next;
      }
      ptr->next = new ListNode(v[i]);
   }
   return head;
}
class TreeNode{
   public:
   int val;
   TreeNode *left, *right;
   TreeNode(int data){
      val = data;
      left = right = NULL;
   }
};
void inord(TreeNode *root){
   if(root != NULL){
      inord(root->left);
      cout << root->val << " ";
      inord(root->right);
   }
}
class Solution {
   public:
   pair <ListNode*, ListNode*> getMid(ListNode* a){
      ListNode* prev = NULL;
      ListNode* fast = a;
      ListNode* slow = a;
      while(fast && fast->next){
         fast = fast->next->next;
         prev = slow;
         slow = slow->next;
      }
      return {prev, slow};
   }
   TreeNode* sortedListToBST(ListNode* a) {
      if(!a)return NULL;
      pair<ListNode*, ListNode*> x = getMid(a);
      ListNode* mid = x.second;
      TreeNode* Node = new TreeNode(mid->val);
      ListNode* nextStart = mid->next;
      mid->next = NULL;
      Node->right = sortedListToBST(nextStart);
      if(x.first){
         x.first->next = NULL;
         Node->left = sortedListToBST(a);
      }
      return Node;
   }
};
main(){
   vector<int> v = {-10,-3,0,5,9};
   ListNode *head = make_list(v);
   Solution ob;
   inord(ob.sortedListToBST(head));
}

このコードでは、まず getMid() 関数がfast・slowポインタを使って中間ノードとその直前ノードを求めます。sortedListToBST() は中間ノードの値でルートを作成し、リストを前後に分割しながら再帰的に左右の部分木を構築していきます。最後に、変換後の木を中順走査(inorder)で出力して結果を確認しています。

入力

[-10,-3,0,5,9]

出力

-10 -3 0 5 9

計算量

時間計算量は O(n log n) です。各再帰レベルでリスト全体を走査して中間ノードを求めるためです。空間計算量は O(log n) で、これは再帰スタックの深さ(平衡木の高さ)に相当します。