Pythonでソート済み配列を高さバランスの二分探索木に変換する方法

ソートされた配列 A が与えられたとき、そこから高さバランスの取れた二分探索木(BST)を生成することを考えます。ここで「高さバランスの取れた二分木」とは、すべてのノードにおいて、左右の部分木の深さの差が常に1以下であるような二分木のことを指します。

例として、配列が [-10, -3, 0, 5, 9] の場合、出力の一例は [0, -3, 9, -10, null, 5] のようになります。

解法のアプローチ

この問題は、配列の中央要素をルートに選ぶというシンプルな発想で解くことができます。具体的な手順は以下の通りです。

• 配列 A が空の場合は、Null(None)を返します。
• 配列の中央の要素を見つけ、それをルートとします。
• 中央要素を基準に、配列を「中央より左側の部分配列」と「中央より右側の部分配列」に分割します。
• 左の部分配列と右の部分配列に対して、同じ処理を再帰的に繰り返します。

中央の要素を選ぶことで、左右の部分配列の要素数がほぼ等しくなります。その結果、木全体の高さが自動的にバランスされ、左右の部分木の深さの差が1以内に収まります。これがこのアルゴリズムの核心です。

Pythonでの実装例

理解を深めるために、以下の実装例を見てみましょう。

コード例

class TreeNode:
   def __init__(self, data, left = None, right = None):
      self.data = data
      self.left = left
      self.right = right
def insert(temp,data):
   que = []
   que.append(temp)
   while (len(que)):
      temp = que[0]
      que.pop(0)
      if (not temp.left):
         if data is not None:
            temp.left = TreeNode(data)
         else:
            temp.left = TreeNode(0)
         break
      else:
         que.append(temp.left)
      if (not temp.right):
         if data is not None:
            temp.right = TreeNode(data)
      else:
         temp.right = TreeNode(0)
      break
   else:
      que.append(temp.right)
def make_tree(elements):
   Tree = TreeNode(elements[0])
   for element in elements[1:]:
    insert(Tree, element)
   return Tree
def height(root):
   if root is None:
    return 0
   else :
    # Compute the height of left and right subtree
    l_height = height(root.left)
    r_height = height(root.right)
    #Find the greater one, and return it
    if l_height > r_height :
       return l_height+1
    else:
       return r_height+1
def print_given_level(root, level):
   if root is None:
    return
   if level == 1:
    print(root.data,end = ',')
   elif level > 1 :
    print_given_level(root.left , level-1)
    print_given_level(root.right , level-1)
def level_order(root):
   print('[', end = '')
   h = height(root)
   for i in range(1, h+1):
    print_given_level(root, i)
   print(']')
class Solution(object):
   def sortedArrayToBST(self, nums):
      """
      :type nums: List[int]
      :rtype: TreeNode
      """
      if not nums:
         return None
      mid = nums[len(nums)//2]
      root = TreeNode(mid)
      root.left = self.sortedArrayToBST(nums[:len(nums)//2])
      root.right = self.sortedArrayToBST(nums[len(nums)//2 +1 :])
      return root
nums = [-10,-3,0,5,9]
ob1 = Solution()
bst = ob1.sortedArrayToBST(nums)
level_order(bst)

入力

nums = [-10,-3,0,5,9]

出力

[0,-3,9,-10,5]

計算量について

このアルゴリズムでは、配列内の各要素を一度ずつ処理するため、時間計算量は O(n) となります。また、再帰の深さは木の高さに相当し、バランスの取れた木の場合は O(log n) に収まるため、再帰呼び出しによるスタックの消費も最小限に抑えられます。

スライス(nums[:len(nums)//2] など)を使用すると部分配列のコピーが発生して追加のメモリを消費しますが、インデックス(左端・右端)を引数として渡す方式に書き換えれば、メモリ効率をさらに改善することも可能です。