【C++】N以下の数のうち平方数かつ立方数であるものを数える方法

整数 N が与えられたとき、N 以下の数の中に「平方数（ある整数の2乗）」であり、かつ「立方数（ある整数の3乗）」でもある数がいくつ存在するかを求めるのが本記事のテーマです。たとえば、1 と 64 はどちらも平方数であると同時に立方数でもあります。

判定には、平方根を計算する sqrt() と、三乗根を計算する cbrt() を利用します。まずは具体例で確認しましょう。

入出力の例

入力：N = 100

出力：平方数かつ立方数である数の個数 ― 2

説明：1 から 100 の範囲で、平方数かつ立方数でもあるのは 1 と 64 のみです。

入力：N = 5000

出力：平方数かつ立方数である数の個数 ― 4

説明：1 から 5000 の範囲では、1、64、729、4096 が該当します。

プログラムのアプローチ

• 整数 N を入力として受け取ります。
• 関数 getCount(int n) は N を引数にとり、N 以下の数のうち平方数かつ立方数であるものの個数を返します。
• カウンタの初期値を 0 とします。
• i = 1 から i = N まで順に走査し、floor(sqrt(i)) == ceil(sqrt(i)) が成り立てば、i は平方数です。
• さらに floor(cbrt(i)) == ceil(cbrt(i)) も成り立てば、i は立方数でもあるため、カウントを 1 増やします。
• ループ終了後、count を結果として返します。

ここで floor()（切り捨て）と ceil()（切り上げ）の結果が一致するのは、sqrt() や cbrt() の戻り値がちょうど整数になるときだけです。これを利用して、その数がきれいな2乗・3乗であるかどうかを判別できます。

C++ サンプルコード

#include <bits/stdc++.h>
#include <math.h>
using namespace std;
int getCount(int n){
    int count=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(floor(sqrt(i))==ceil(sqrt(i))){
            if(floor(cbrt(i))==ceil(cbrt(i))){
                count++;
                //cout<<i<<" ";
            }
        }
    }
    return count;
}
int main(){
    int N=100;
    cout<<endl<<"N以下の平方数かつ立方数である数の個数:"<<getCount(N);
    return 0;
}

実行結果

上記のコードを実行すると、次の出力が得られます。

N以下の平方数かつ立方数である数の個数:2

補足：平方数かつ立方数となる数の性質

ある数が平方数であり、かつ立方数でもあるためには、その数が「6乗数（ある整数の6乗）」であれば十分です。実際、1 = 1⁶、64 = 2⁶、729 = 3⁶、4096 = 4⁶ という対応関係があります。つまり、答えは「N の6乗根の整数部分」と一致するため、ループ処理を使わずに高速に求めることも可能です。ただし、浮動小数点演算には誤差が伴うため、実装の際は誤差調整を行うか、本記事のように整数ループで確認する方法が安全です。